Continuità funzione a 2 variabili, con tre parametri.
Buongiorno a tutti,
mi trovo di fronte a un esercizio ostico, che sta mettendo a dura prova la mia immaginazione, mi piacerebbe sentire qualche vostra opinione.
Sto studiando la continuità nell'origine della seguente funzione
$$
f(x,y)=\begin{cases}\frac{ |x|^\alpha|y|^\beta}{(x^4+y^2)^\gamma} \, & , \, (x,y)\ne (0,0) \\ \hspace{12pt} 0 \, & , \, (x,y)=(0,0)\end{cases}
$$
al variare dei tre parametri reali $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$.
Per cercare di venirne ad una ho provato a rappresentare le tre variabili nello spazio tridimensionale in maniera da visualizzare geometricamente sotto quali condizioni la funzione è continua e sotto quali no.
Il comportamento come mi è parso di intuire è in un certo senso antisimmetrico rispetto all'origine, per esempio la funzione è chiaramente continua in tutto l'ottante $\alpha>0$, $\beta>0$ ,$\gamma<0$ mentre è chiaramente discontinua nell'ottante opposto ovvero quando $\alpha<0$ , $\beta <0$ e $\gamma>0$.
E qui finiscono le osservazioni di carattere generale che sono riuscito a trarre, quindi mi sono buttato nello studio ottante per ottante, partendo chiaramente dal primo ottante quello con tutti i parametri positivi, e qui si ferma il mio studio perché sono ben presto arrivato ai primi ostacoli geometrici, mi spiego meglio.
Per studiare la continuità posso maggiorare nei seguenti due modi:
$$
\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{(x^4+y^2)^\gamma} \leq \frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{(x^4)^\gamma}=\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{x^{4\gamma}}
$$
da cui ottengo la condizione $4\gamma < \alpha$ ; oppure maggiorare così:
$$
\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{(x^4+y^2)^\gamma} \leq \frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{(y^2)^\gamma}=\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{y^{2\gamma}}
$$
da cui ottengo la condizione $2\gamma < \beta$.
Queste due condizioni non confliggono e rappresentano l'area sottesa a due piani che singolarmente intersecano uno l'asse delle $\alpha$ e l'altro l'asse delle $\beta$ e fin qui tutto torna.
il mio sogno a questo punto sarebbe dimostrare che al di sopra di tali aree la funzione sia discontinua e passare al prossimo ottante, per questo procedo studiando il limite lungo il percorso $y=x$ e otteniamo
$$
\frac{|x|^\alpha|x|^\beta}{(x^4+x^2)^\gamma} = \frac{|x|^\alpha|x|^\beta}{x^{2\gamma}(x^2+1)^\gamma} =\frac{|x|^{\alpha+\beta}}{x^{2\gamma}(x^2+1)^\gamma}
$$
Perciò la funzione è discontinua per $2\gamma>\alpha+\beta$ e tutto torna, mi mancherebbe un pezzo di ottante, infatti ad esempio se $\beta=0$ ho che la funzione è discontinua per $2\gamma>\alpha$ e so che la funzione è continua per $4\gamma<\alpha$ tuttavia non so ancora cosa succede nel mezzo ovvero per $2\gamma<\alpha <4 \gamma$ , allora provo a fare di meglio con la sostituzione $y=x^2$ ed infatti esce qualcosa di meglio, trovo infatti come condizione $\gamma>\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha}{4}$ perciò sui piani $\beta=0$ e $\alpha=0$ so cosa succede (almeno nel primo ottante).
Il problema è come faccio a sapere cosa succede nel mezzo dell'ottante? come faccio a esser sicuro che questa condizione non mi abbia lasciato possibili combinazioni dei tre parametri scoperte??
mi trovo di fronte a un esercizio ostico, che sta mettendo a dura prova la mia immaginazione, mi piacerebbe sentire qualche vostra opinione.
Sto studiando la continuità nell'origine della seguente funzione
$$
f(x,y)=\begin{cases}\frac{ |x|^\alpha|y|^\beta}{(x^4+y^2)^\gamma} \, & , \, (x,y)\ne (0,0) \\ \hspace{12pt} 0 \, & , \, (x,y)=(0,0)\end{cases}
$$
al variare dei tre parametri reali $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$.
Per cercare di venirne ad una ho provato a rappresentare le tre variabili nello spazio tridimensionale in maniera da visualizzare geometricamente sotto quali condizioni la funzione è continua e sotto quali no.
Il comportamento come mi è parso di intuire è in un certo senso antisimmetrico rispetto all'origine, per esempio la funzione è chiaramente continua in tutto l'ottante $\alpha>0$, $\beta>0$ ,$\gamma<0$ mentre è chiaramente discontinua nell'ottante opposto ovvero quando $\alpha<0$ , $\beta <0$ e $\gamma>0$.
E qui finiscono le osservazioni di carattere generale che sono riuscito a trarre, quindi mi sono buttato nello studio ottante per ottante, partendo chiaramente dal primo ottante quello con tutti i parametri positivi, e qui si ferma il mio studio perché sono ben presto arrivato ai primi ostacoli geometrici, mi spiego meglio.
Per studiare la continuità posso maggiorare nei seguenti due modi:
$$
\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{(x^4+y^2)^\gamma} \leq \frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{(x^4)^\gamma}=\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{x^{4\gamma}}
$$
da cui ottengo la condizione $4\gamma < \alpha$ ; oppure maggiorare così:
$$
\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{(x^4+y^2)^\gamma} \leq \frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{(y^2)^\gamma}=\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{y^{2\gamma}}
$$
da cui ottengo la condizione $2\gamma < \beta$.
Queste due condizioni non confliggono e rappresentano l'area sottesa a due piani che singolarmente intersecano uno l'asse delle $\alpha$ e l'altro l'asse delle $\beta$ e fin qui tutto torna.
il mio sogno a questo punto sarebbe dimostrare che al di sopra di tali aree la funzione sia discontinua e passare al prossimo ottante, per questo procedo studiando il limite lungo il percorso $y=x$ e otteniamo
$$
\frac{|x|^\alpha|x|^\beta}{(x^4+x^2)^\gamma} = \frac{|x|^\alpha|x|^\beta}{x^{2\gamma}(x^2+1)^\gamma} =\frac{|x|^{\alpha+\beta}}{x^{2\gamma}(x^2+1)^\gamma}
$$
Perciò la funzione è discontinua per $2\gamma>\alpha+\beta$ e tutto torna, mi mancherebbe un pezzo di ottante, infatti ad esempio se $\beta=0$ ho che la funzione è discontinua per $2\gamma>\alpha$ e so che la funzione è continua per $4\gamma<\alpha$ tuttavia non so ancora cosa succede nel mezzo ovvero per $2\gamma<\alpha <4 \gamma$ , allora provo a fare di meglio con la sostituzione $y=x^2$ ed infatti esce qualcosa di meglio, trovo infatti come condizione $\gamma>\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha}{4}$ perciò sui piani $\beta=0$ e $\alpha=0$ so cosa succede (almeno nel primo ottante).
Il problema è come faccio a sapere cosa succede nel mezzo dell'ottante? come faccio a esser sicuro che questa condizione non mi abbia lasciato possibili combinazioni dei tre parametri scoperte??
Risposte
e se passassi a coordinate polari? io ho ottenuto che la funzione è continua se $ alpha+beta-2gamma>0 $
Ma come affronti il denominatore in coordinate polari?
A denominatore otterresti $\rho^4\cos^4 \theta +\rho^2\sin^2\theta$ e da qui come elimini i seni e i coseni??
A denominatore otterresti $\rho^4\cos^4 \theta +\rho^2\sin^2\theta$ e da qui come elimini i seni e i coseni??
ottengo $ (|cos theta|^alpha|sin theta|^beta)/(cos^2 theta+rho^2sin^4 theta) $ tanto il rho tende a zero, il seno è limitato quindi il loro prodotto tende a zero. quello che rimane è limitato. per cui se gli esponenti rimangono in quel modo hai continuità. io ho provato a ragionare così 
A parte che hai dimenticato un $\gamma$ a denominatore, ma non puoi assolutamente concludere la continuità in questo modo, il teorema di esistenza del limite in coordinate polari parla chiaro, per dimostrare la continuità devi dimostrare che il limite è nullo uniformemente rispetto a $\rho$ il che significa che devi maggiorare la funzione con un'altra funzione che non dipenda da $\theta$ e qui non vedo proprio come puoi farlo... Si il numeratore è limitato quindi il numeratore lo puoi maggiorare, ma il denominatore con chi lo maggiori ?
in effetti non conoscevo questa condizione per il passaggio a coordinate polari che adesso ho cercato. ho sempre applicato malamente la cosa allora!
Non so se hai risolto, comunque puoi sfruttare la disuguaglianza :
$|x|^alpha=(x^4)^(alpha/4)<=(x^4+y^2)^(alpha/4)$
E puoi fare la stessa cosa per y. Poi dovrebbe essere abbastanza semplice
$|x|^alpha=(x^4)^(alpha/4)<=(x^4+y^2)^(alpha/4)$
E puoi fare la stessa cosa per y. Poi dovrebbe essere abbastanza semplice
Sei un genio!
grazie mille!
grazie mille!
Ma quale genio!!
È un trucchetto che ho incontrato facendo alcuni esercizi
È un trucchetto che ho incontrato facendo alcuni esercizi
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