Continuità funzione a 2 variabili
Devo verificare la continuità della seguente funzione nel punto $(0,0)$
$\{((x^2+y^2+x)/(x^2+y^2) se (x,y)!=(0,0)), (1 se (x,y) = (0,0)) :}$
Innanzitutto verifico che la funzione sia definita nel punto e per definizione vale 1.
Poi imposto il limite
$lim_((x,y)->(0,0))(x^2+y^2+x)/(x^2+y^2)=1$
e qui mi fermo non so come procedere per il calcolo del limite.
Grazie
$\{((x^2+y^2+x)/(x^2+y^2) se (x,y)!=(0,0)), (1 se (x,y) = (0,0)) :}$
Innanzitutto verifico che la funzione sia definita nel punto e per definizione vale 1.
Poi imposto il limite
$lim_((x,y)->(0,0))(x^2+y^2+x)/(x^2+y^2)=1$
e qui mi fermo non so come procedere per il calcolo del limite.
Grazie
Risposte
Tipicamente, si comincia con il considerare la restrizione della funzione su una generica retta passante per l'origine. Tuttavia, almeno in questo caso, è sufficiente considerare la restrizione su uno dei due assi cartesiani:
Insomma, poiché il limite non esiste, la funzione non può essere continua.
$[lim_(x->0)(x^2+x)/x^2=oo] ^^ [lim_(y->0)y^2/y^2=1]$
Insomma, poiché il limite non esiste, la funzione non può essere continua.
Grazie, se avessi usato $y=mx$ avrei raggiunto lo stesso risultato? Posso affermare che visto che non è continua non è neanche differenziabile ?
Se non è continua non è neanche differenziabile, in quanto la continuità è una condizione necessaria per la differenziabilità.
In realtà usando il fascio di rette $y=mx$ giungi solamente a dire che il limite, se esiste, è $\infty$; infatti
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+m^2x^2+x}{x^2+m^2x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{x+\text{o}(x)}{x^2(1+m^2)}=\lim_{x \to 0} \frac{1+\frac{\text{o}(x)}{x}}{x(1+m^2)}$$
E tale limite è $\infty$ per ogni $m\in\mathbb{R}$; se invece il limite avesse avuto una dipendenza da $m$ avresti ottenuto la non esistenza del limite.
Comunque credo che in un certo senso questo basti in questo contesto, perché anche se il limite esistesse non sarebbe $1$ e dunque salta la continuità.
In realtà usando il fascio di rette $y=mx$ giungi solamente a dire che il limite, se esiste, è $\infty$; infatti
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+m^2x^2+x}{x^2+m^2x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{x+\text{o}(x)}{x^2(1+m^2)}=\lim_{x \to 0} \frac{1+\frac{\text{o}(x)}{x}}{x(1+m^2)}$$
E tale limite è $\infty$ per ogni $m\in\mathbb{R}$; se invece il limite avesse avuto una dipendenza da $m$ avresti ottenuto la non esistenza del limite.
Comunque credo che in un certo senso questo basti in questo contesto, perché anche se il limite esistesse non sarebbe $1$ e dunque salta la continuità.
Ma se il limiti del fascio di rette passante per l'origine vale infinito, non è comunque utile per indicare la non continuità visto che la funzione nel punto $(0,0)$ vale 1?
Sì, ma va formalizzato: io supporrei che $f$ sia continua in $(0,0)$, ma allora il limite per $(x,y)\to(0,0)$ dovrebbe coincidere con il valore della funzione in $(0,0)$ e ciò non avviene, in quanto per definizione $f$ vale $1$ in $(0,0)$ e invece il suddetto limite non esiste (lo puoi dimostrare con il fascio o, più semplicemente, come ha già fatto notare Sergeant Elias; alternativamente puoi usare il fatto che il limite, se esiste, è unico e dunque in ogni caso il limite per $(x,y) \to (0,0)$ di $f$ non coincide col suo valore in $(0,0)$).
Quindi c'è una contraddizione e perciò $f$ non può essere continua in $(0,0)$.
Comunque è molto più articolato come ragionamento, basta fare ciò che è già stato fatto da Sergeant Elias.
Quindi c'è una contraddizione e perciò $f$ non può essere continua in $(0,0)$.
Comunque è molto più articolato come ragionamento, basta fare ciò che è già stato fatto da Sergeant Elias.
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