Continuità funzione a 2 variabili
Buongiorno a tutti,
visto che come sempre wolfram non è d'accordo con le mie conclusioni vorrei un parere da voi...
allora ho la seguente funzione
$$
f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x-y}e^{-|\frac{x}{x-y}|} \, & se \, x\ne y \\ 0 \, & se \, x=y\end{cases}
$$
e mi si chiede di studiare la continuità nell'origine.
A prima vista sembrerebbe che la funzione non sia continua infatti sia l'argomento dell'esponenziale che il fattore esterno sono funzioni non continue nell'origine, tuttavia sembra che il prodotto di queste due funzioni annulli il comportamento discontinuo...
Allora mi butto a studiare la continuità, tuttavia non mi viene in mente nessuna disuguaglianza standard, quindi ho provato con un ragionamento leggermente differente e vorrei sapere se vi convince...
allora definisco $t=\frac{x}{x-y}$ ottenendo così la funzione
$$
yte^{-|t|}
$$
chiaramente $t=t(x,y)$ però spero non sia importante, adesso la funzione di una variabile $te^{-|t|}$ è una funzione limitata su tutto $\R$ ed il suo codominio è l'intervallo $[-e^{-1},e^{-1}]$ perciò posso concludere che
$$
|yte^{-|t|}|=|y||t|e^{-|t|}\leq |y|e^{-1} \to 0
$$
per cui la funzione è continua.
Questo ragionamento funziona oppure c'è qualcosa che non ho tenuto in considerazione?
visto che come sempre wolfram non è d'accordo con le mie conclusioni vorrei un parere da voi...
allora ho la seguente funzione
$$
f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x-y}e^{-|\frac{x}{x-y}|} \, & se \, x\ne y \\ 0 \, & se \, x=y\end{cases}
$$
e mi si chiede di studiare la continuità nell'origine.
A prima vista sembrerebbe che la funzione non sia continua infatti sia l'argomento dell'esponenziale che il fattore esterno sono funzioni non continue nell'origine, tuttavia sembra che il prodotto di queste due funzioni annulli il comportamento discontinuo...
Allora mi butto a studiare la continuità, tuttavia non mi viene in mente nessuna disuguaglianza standard, quindi ho provato con un ragionamento leggermente differente e vorrei sapere se vi convince...
allora definisco $t=\frac{x}{x-y}$ ottenendo così la funzione
$$
yte^{-|t|}
$$
chiaramente $t=t(x,y)$ però spero non sia importante, adesso la funzione di una variabile $te^{-|t|}$ è una funzione limitata su tutto $\R$ ed il suo codominio è l'intervallo $[-e^{-1},e^{-1}]$ perciò posso concludere che
$$
|yte^{-|t|}|=|y||t|e^{-|t|}\leq |y|e^{-1} \to 0
$$
per cui la funzione è continua.
Questo ragionamento funziona oppure c'è qualcosa che non ho tenuto in considerazione?
Risposte
Prova a considerare cosa succede sulla restrizione \(y = x - x^2\).
fa zero...
$[lim_(x->0^+)(1-x)*e^(1/x)=+oo]$
Scusate scusate !!
ho sbagliato a scrivere l'esercizio non mi ha preso il modulo ad esponente!! ora correggo...
la funzione era
$$
\frac{xy}{x-y}e^{-|\frac{x}{x-y}|}
$$
ho sbagliato a scrivere l'esercizio non mi ha preso il modulo ad esponente!! ora correggo...
la funzione era
$$
\frac{xy}{x-y}e^{-|\frac{x}{x-y}|}
$$
"Bossmer":
Scusate scusate !!
ho sbagliato a scrivere l'esercizio non mi ha preso il modulo ad esponente!! ora correggo...
la funzione era
$$
\frac{xy}{x-y}e^{-|\frac{x}{x-y}|}
$$
Ok. Col modulo a esponente il tuo ragionamento è corretto.
Magari, al posto di fare un cambiamento di variabile esplicito nella funzione di partenza, userei il tuo ragionamento per dimostrare che la funzione
\[
g(x,y) := \frac{x}{x-y} \, e^{-\left|\frac{x}{x-y}\right|}
\]
è limitata; in particolare, come hai già notato, \(|g(x,y)| \leq 1/e\) per ogni \((x,y)\in\mathbb{R}^2\), \(x\neq y\).
Poiché
\[
f(x,y) = \begin{cases}
y\, g(x,y), &\text{se}\ x\neq y,\\
0, &\text{altrimenti},
\end{cases}
\]
segue che \(|f(x,y)| \leq |y| / e\) per ogni \((x,y)\in\mathbb{R}^2\).
ok grazie mille per la conferma.
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