Continuità funzione
Salve, a lezione il prof ha proposto un esercizio .
Data la seguente funzione : $f(x)= e^((1)/(x-3))$. Stabilire se la funzione è continua in $x=3$. Lui arriva alla conclusione che il punto $x=3$ è un punto di discontinuità di seconda specie, ma non è di terza specie? Infatti la funzione non è definita nel punto e quindi ricado nella singolarità ( e non discontinuità ) di terza specie.
Stessa cosa con la funzione $f(x)= sen ((1)/(x-1))$. Nel punto $x=1$ la funzione non è continua ma non si tratta , a mio vedere, di una discontinuità di seconda specie ma anche in questo caso di una singolarità di terza specie ( per le stesse ragioni scritte sopra).
EDIT
Ci ho ripensato: ho una singolarità di terza specie se esiste finito il limite di f(x) per x che tende a xo, ma f(xo) o non esiste o è diverso dal valore del limite. Nei casi sopracitati il limite non esiste per motivi che rientrano nella discontinuità di seconda specie. Confermate? Grazie
Data la seguente funzione : $f(x)= e^((1)/(x-3))$. Stabilire se la funzione è continua in $x=3$. Lui arriva alla conclusione che il punto $x=3$ è un punto di discontinuità di seconda specie, ma non è di terza specie? Infatti la funzione non è definita nel punto e quindi ricado nella singolarità ( e non discontinuità ) di terza specie.
Stessa cosa con la funzione $f(x)= sen ((1)/(x-1))$. Nel punto $x=1$ la funzione non è continua ma non si tratta , a mio vedere, di una discontinuità di seconda specie ma anche in questo caso di una singolarità di terza specie ( per le stesse ragioni scritte sopra).
EDIT
Ci ho ripensato: ho una singolarità di terza specie se esiste finito il limite di f(x) per x che tende a xo, ma f(xo) o non esiste o è diverso dal valore del limite. Nei casi sopracitati il limite non esiste per motivi che rientrano nella discontinuità di seconda specie. Confermate? Grazie
Risposte
Dipende tutto da quale convenzione adotta il tuo insegnante. Cosa intende con punti di discontinuità? Sono punti di accumulazione del dominio interni o esterni? Ci sono diversi professori che definiscono punto di discontinuità anche quei punti di accumulazione del dominio (esterni al dominio) in cui la funzione non può essere prolungata con continuità.
Per quanto concerne la classificazione dei punti di discontinuità in prima, seconda e terza specie, mi fa venire l'orticaria. Anche in questo caso, è solo una questione di definizioni e nomenclature.
Insomma, la questione non è chi ha ragione, bensì mettersi d'accordo sulle convenzioni da adottare e attenersi a quelle.
Per quanto concerne la classificazione dei punti di discontinuità in prima, seconda e terza specie, mi fa venire l'orticaria. Anche in questo caso, è solo una questione di definizioni e nomenclature.
Insomma, la questione non è chi ha ragione, bensì mettersi d'accordo sulle convenzioni da adottare e attenersi a quelle.
Ho modificato il post mentre rispondevi. Essendo un corso di Farmacia, non ci si ferma sui particolari. Tuttavia è chiaro il discorso che fai. La funzione in quei punti non è continua per una serie di motivi ( perchè non è definita in quei punti e perchè il limite della definizione di continuità non esiste ). Una volta capito perchè la funzione non è continua in quel punto, dire di prima specie di seconda o terza specie, nella sostanza della cosa, conta ben poco. Grazie
Rileggendomi, il tono non sembrava affatto amichevole: ti assicuro JackPirri che non ho nulla contro di te. Ho affrontato così tante volte la diatriba "punti di discontinuità" che in un certo senso la trovo ormai svilente: ci sono argomenti molto più interessanti su cui dibattere. 
Ad ogni modo, se ti va, riporta la classificazione dei punti di discontinuità che ha dato il tuo insegnante. Solo così potremo aiutarti a superare questo cruccio.
Intanto ti dico che i limiti destro e sinistro di $f(x)=e^{\frac{1}{x-3}}$ per $x\to 3$ valgono rispettivamente $+\infty$ e $0$, mentre i limiti destro e sinistro di $f(x)=\sin\left(\frac{1}{x-1}\right)$ per $x\to 1$ non esistono.
Ad ogni modo, se ti va, riporta la classificazione dei punti di discontinuità che ha dato il tuo insegnante. Solo così potremo aiutarti a superare questo cruccio.
Intanto ti dico che i limiti destro e sinistro di $f(x)=e^{\frac{1}{x-3}}$ per $x\to 3$ valgono rispettivamente $+\infty$ e $0$, mentre i limiti destro e sinistro di $f(x)=\sin\left(\frac{1}{x-1}\right)$ per $x\to 1$ non esistono.
Se le definizioni del tuo professore sono quelle di Wikipedia
Allora ha ragione il prof. in quanto $ lim_(x->3^-) e^{\frac{1}{x-3}}=0 $ mentre $ lim_(x->3^+) e^{\frac{1}{x-3}}=+oo $
mentre $ lim_(x->1) sin\left(\frac{1}{x-1}\right) $ non esiste
Devo aggiungere che la classificazione del tuo insegnante quadra anche con quella del mio libro di testo di adesso, mentre è diversa da quella di un vecchio libro che ho a casa.
A seconda del modo in cui questa condizione viene a mancare, i punti di discontinuità vengono raggruppati sotto tre famiglie, dette specie:
1 discontinuità di prima specie: il limite destro e il limite sinistro per $x->x_0$ esistono finiti, ma sono diversi tra loro (la funzione presenta un "salto" finito nel punto di ascissa $x_0$;
2 discontinuità di seconda specie: almeno uno dei due limiti per $x -> x_0$ è infinito (positivo o negativo) oppure non esiste (in quest'ultimo caso si parla anche di discontinuità essenziale);
3 discontinuità di terza specie (o eliminabile): esistono uguali e finiti i limiti destro e sinistro per $x->x_0$, ma il loro valore è diverso dal valore di f nel punto $x_0$ oppure $f(x_0)$ non è definita.
Allora ha ragione il prof. in quanto $ lim_(x->3^-) e^{\frac{1}{x-3}}=0 $ mentre $ lim_(x->3^+) e^{\frac{1}{x-3}}=+oo $
mentre $ lim_(x->1) sin\left(\frac{1}{x-1}\right) $ non esiste
Devo aggiungere che la classificazione del tuo insegnante quadra anche con quella del mio libro di testo di adesso, mentre è diversa da quella di un vecchio libro che ho a casa.
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