Continuità funzionale lineare

[nato_pigro1]

$X={u in C^1([0,2],RR): u(1)=0}$
norma in $X$ è definita come $p(u)=max{|u'(t)|:tin[0,2]} AA u in C^1([0,2],RR)$

Stabilire se il funzionale lineare $L:u in X -> \int_{0}^{2} u(t) dt in RR$ è continuo.

Devo cercare quindi di trovare $MinRR$ tale che $|L(u)|<=M*p(u)$

$|\int_{0}^{2} u(t) dt|=|\int_{0}^{2}\int_{1}^{t} u'(s) ds dt|<= \int_{0}^{2} (max_{1
poi tiro fuori dall'integrale il massimo maggiorandolo con il massimo su tutto $[0,2]$ (che è la norma che voglio) ma mi resta l'integrale di $(t-1)$ che è $=0$...

dove sbaglio?

(sorry titolo, non ci ho pensato per niente...)

[gugo82]

Beh, è che fai tutto troppo di fretta e ti dimentichi un modulo per la strada.

Infatti, quando non si sa se \(ab\) la disuguaglianza tra modulo dell'integrale ed integrale del modulo si scrive:
\[\left| \int_a^b f\right| \leq \left| \int_a^b |f| \right|\]
quindi:
\[ \begin{split} \left| \int_0^2 \int_1^t u^\prime (s)\ \text{d} s\ \text{d} t\right| &\leq \int_0^2 \left| \int_1^t u^\prime (s)\ \text{d} s\right| \text{d} t \\ &\leq \int_0^2 \left| \int_1^t |u^\prime (s)|\ \text{d} s\right| \text{d} t \\ &\leq \lVert u^\prime \rVert_\infty \int_0^2 |1-t|\ \text{d} t\end{split}\]
etc...

[xdom="gugo82"]Inoltre, un titolo meno generico, no?!?[/xdom]

[dissonance]

Ragassuoli, cambiamo il titolo plis. "Dove sbaglio?" mi pare un tantinello troppo generico, nevvero.