Continuitá Epsilon Delta
Ciao a tutti
Sto studiando la continuitá di una funzione con il metodo $\epsilon$ $\delta$
il linea teorica ho capito il concetto, ma non riesco ad applicarlo in un esempio pratico
qualcuno potrebbe farmi un esempio di esercizio in modo che io capisca come devo ragionare?
grazie mille
Sto studiando la continuitá di una funzione con il metodo $\epsilon$ $\delta$
il linea teorica ho capito il concetto, ma non riesco ad applicarlo in un esempio pratico
qualcuno potrebbe farmi un esempio di esercizio in modo che io capisca come devo ragionare?
grazie mille
Risposte
Non è un metodo, è una definizione.
Per esercizio puoi provare a dimostrare che la funzione $e^x$ è continua in ogni punto del suo insieme di definizione.
E puoi inoltre dimostrare che la funzione $f$ così definita:
$f(x) := 0$ per $x in ]-oo , -1 ] uu [ 1, +oo[$
$f(x) := 17$ per $x = 0$
è continua in $0$.
Per esercizio puoi provare a dimostrare che la funzione $e^x$ è continua in ogni punto del suo insieme di definizione.
E puoi inoltre dimostrare che la funzione $f$ così definita:
$f(x) := 0$ per $x in ]-oo , -1 ] uu [ 1, +oo[$
$f(x) := 17$ per $x = 0$
è continua in $0$.
Scusami ma continuo a non capire
Infatti avevo chiesto un esempio, non un "prova a farne uno tu" ,quello l'ho giá provato
Io mi trovo a dover dimostrare che $sqrt(x)$ é continua per $x>0$
come determino il valore di $\epsilon$ e di $\delta$ che mi indichino che la mia funzione é continua nell'intervallo?
ma soprattutto, come dimostro il passaggio "implica che"?
scusa la domanda diretta, non sto cercando qualcuno che mi risolva l'esercizio, ma non ho idea di quale ragionamento seguire per risolverlo.
Infatti avevo chiesto un esempio, non un "prova a farne uno tu" ,quello l'ho giá provato
Io mi trovo a dover dimostrare che $sqrt(x)$ é continua per $x>0$
come determino il valore di $\epsilon$ e di $\delta$ che mi indichino che la mia funzione é continua nell'intervallo?
ma soprattutto, come dimostro il passaggio "implica che"?
scusa la domanda diretta, non sto cercando qualcuno che mi risolva l'esercizio, ma non ho idea di quale ragionamento seguire per risolverlo.
Qualcuno può darmi una dritta? SOS
scusa ma continuo a non capire il ragionamento
fa nulla, vedo di cavarmela in altro modo
grazie lo stesso
fa nulla, vedo di cavarmela in altro modo
grazie lo stesso
Ok, provo con altre parole. Se guardi la definizione di continuità in un punto $x$ (e provarlo per un punto generico equivale a provarlo per tutti, sarai d'accordo qui) dice:
[tex]\forall\epsilon>0 \exists \delta(\epsilon)>0 : \forall y, |y-x|<\delta(\epsilon) \text{ si ha }|f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex]
Fissiamo un $\epsilon$ e determiniamo $\delta(\epsilon)$.
Ora, quando risolvevi una volta disequazioni, cosa facevi? Dalla consegna iniziale, che possiamo denotare come $g_1 (x)< g_2(x)$, cercavi a giungere a qualcosa all'incirca della forma $x< $(espressione senza la $x$).
La domanda implicita che ti ponevi era: per quali $x$ vale che $g_1 (x)< g_2(x)$?
Ora, la parte della consegna iniziale la fa l'espressione
$|f(x)-f(y)|<\epsilon$
e vuoi trovare per quali $|x-y|$ questo vale.
Facendo operazioni invertibili nel percorso, tracci una strada che può essere percorsa in entrambi i sensi!
Più chiaro?
Paola
[tex]\forall\epsilon>0 \exists \delta(\epsilon)>0 : \forall y, |y-x|<\delta(\epsilon) \text{ si ha }|f(x)-f(y)|<\epsilon[/tex]
Fissiamo un $\epsilon$ e determiniamo $\delta(\epsilon)$.
Ora, quando risolvevi una volta disequazioni, cosa facevi? Dalla consegna iniziale, che possiamo denotare come $g_1 (x)< g_2(x)$, cercavi a giungere a qualcosa all'incirca della forma $x< $(espressione senza la $x$).
La domanda implicita che ti ponevi era: per quali $x$ vale che $g_1 (x)< g_2(x)$?
Ora, la parte della consegna iniziale la fa l'espressione
$|f(x)-f(y)|<\epsilon$
e vuoi trovare per quali $|x-y|$ questo vale.
Facendo operazioni invertibili nel percorso, tracci una strada che può essere percorsa in entrambi i sensi!
Più chiaro?
Paola
Vi ringrazio per la spiegazione ma vi prego di considerare una cosa...
so bene che è assolutamente sensato cercare di portare le persone a farcela con le proprie forze, ma alle volte credo che sia necessaria un po' di elasticità. Il forum prevede che si cerchi di risolvere il problema da soli e si posti un tentativo di soluzione, ma il modo di apprendere di una persona non è definito e costante, alcune persone necessitano di un diverso metodo rispetto ad altre. Nel mio caso, spesso ho bisogno di un paio di esempi fatti in modo da capire dove mi perdo. Il più delle volte sono banalità, ma quel tipo di banalità che se non la si vede applicata non la si capisce (o meglio "molti" non la capiscono).
Fin da subito ho indicato che non stavo chiedendo che si risolvesse il mio esercizio, tutt'altro, ho chiesto se era possibile fare un esempio di soluzione concreto senza neanche indicare come fosse il mio esercizio (cosa che ho fatto solo in seguito). Dopo 3 risposte ottenute, non ho ricevuto alcun esempio... risultato??? ne so come quando ho postato la prima volta la domanda (alle 14 circa) ma adesso sono le 18 = 4 ore che non hanno portato a nulla che avrei potuto usare per studiare ancora altre cose per domani se avessi capito questo tipo di esercizio
Scusate la franchezza, ma sono in difficoltà, queste cose mi servono per domani (l'aiuto sul forum l'ho chiesto come ultima risorsa dopo giorni che ci lavoro su, non faccio tutto all'ultimo)
so bene che è assolutamente sensato cercare di portare le persone a farcela con le proprie forze, ma alle volte credo che sia necessaria un po' di elasticità. Il forum prevede che si cerchi di risolvere il problema da soli e si posti un tentativo di soluzione, ma il modo di apprendere di una persona non è definito e costante, alcune persone necessitano di un diverso metodo rispetto ad altre. Nel mio caso, spesso ho bisogno di un paio di esempi fatti in modo da capire dove mi perdo. Il più delle volte sono banalità, ma quel tipo di banalità che se non la si vede applicata non la si capisce (o meglio "molti" non la capiscono).
Fin da subito ho indicato che non stavo chiedendo che si risolvesse il mio esercizio, tutt'altro, ho chiesto se era possibile fare un esempio di soluzione concreto senza neanche indicare come fosse il mio esercizio (cosa che ho fatto solo in seguito). Dopo 3 risposte ottenute, non ho ricevuto alcun esempio... risultato??? ne so come quando ho postato la prima volta la domanda (alle 14 circa) ma adesso sono le 18 = 4 ore che non hanno portato a nulla che avrei potuto usare per studiare ancora altre cose per domani se avessi capito questo tipo di esercizio
Scusate la franchezza, ma sono in difficoltà, queste cose mi servono per domani (l'aiuto sul forum l'ho chiesto come ultima risorsa dopo giorni che ci lavoro su, non faccio tutto all'ultimo)
Prendendo l'esempio suggerito da Seneca, che è la stessa richiesta del topic che ti ho indicato:
Fissiamo [tex]x,\epsilon[/tex]
[tex]|e^x - e^y|=e^x |1-e^{y-x}|<\epsilon[/tex]
caso $y-x>0$
[tex]e^x |1-e^{y-x}|=e^x (e^{y-x}-1)<\epsilon \to y-x < \log(\epsilon e^{-x}+1)[/tex]
caso $y-x<0$
[tex]e^x |1-e^{y-x}|=e^x (1-e^{y-x})<\epsilon \to y-x > \log(1-\epsilon e^{-x})\to x-y<- \log(1-\epsilon e^{-x})[/tex]
[tex]\delta=\min\{ \log(\epsilon e^{-x}+1),- \log(1-\epsilon e^{-x})\}[/tex]
Spero di aver ricopiato bene i conti, sono un po' di fretta...
Paola
Fissiamo [tex]x,\epsilon[/tex]
[tex]|e^x - e^y|=e^x |1-e^{y-x}|<\epsilon[/tex]
caso $y-x>0$
[tex]e^x |1-e^{y-x}|=e^x (e^{y-x}-1)<\epsilon \to y-x < \log(\epsilon e^{-x}+1)[/tex]
caso $y-x<0$
[tex]e^x |1-e^{y-x}|=e^x (1-e^{y-x})<\epsilon \to y-x > \log(1-\epsilon e^{-x})\to x-y<- \log(1-\epsilon e^{-x})[/tex]
[tex]\delta=\min\{ \log(\epsilon e^{-x}+1),- \log(1-\epsilon e^{-x})\}[/tex]
Spero di aver ricopiato bene i conti, sono un po' di fretta...
Paola
Adesso è tutto chiaro finalmente, grazie
@Summerwind78: La dimostrazione [tex]$\varepsilon -\delta$[/tex] della continuità della radice si basa, essenzialmente, sull'uso della seguente disuguaglianza di Hölder elementare:
[tex]$\forall x,y\geq 0,\quad |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq \sqrt{|x-y|}$[/tex]
(tale disuguaglianza si dimostra semplicemente, usando l'omogeneità ed elevando al quadrato m.a.m.).
Chiaramente, se questa disuguaglianza non la conosci, dimostrare la continuità diventa oltremodo tedioso; però, ora che la sai, puoi procedere come segue.
Fissato [tex]$x_0\geq 0$[/tex], si ha:
[tex]$|\sqrt{x} -\sqrt{x_0}|\leq \sqrt{|x-x_0|}$[/tex],
ergo, preso [tex]$\varepsilon >0$[/tex], affinché risulti [tex]$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\varepsilon$[/tex] basta avere [tex]$\sqrt{|x-x_0|}<\varepsilon$[/tex], cioè [tex]$|x-x_0|<\varepsilon^2$[/tex]; ne consegue che, non appena si fissi [tex]$\delta_{x_0,\varepsilon}\leq \varepsilon^2$[/tex] si ha:
[tex]$|x-x_0|<\delta_{x_0,\varepsilon} \ \Rightarrow \ |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\varepsilon$[/tex].
Quindi [tex]$\sqrt{x}$[/tex] è continua in [tex]$x_0\in[0,+\infty[$[/tex] e, data l'arbitrarietà nella scelta di [tex]$x_0$[/tex], tale funzione è continua in [tex]$[0,+\infty[$[/tex]; anzi, visto che [tex]$\sup_{x_0\geq 0} \delta_{x_0,\varepsilon}=\varepsilon^2$[/tex] è finito, la funzione [tex]$\sqrt{x}$[/tex] è uniformemente continua in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
[tex]$\forall x,y\geq 0,\quad |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq \sqrt{|x-y|}$[/tex]
(tale disuguaglianza si dimostra semplicemente, usando l'omogeneità ed elevando al quadrato m.a.m.).
Chiaramente, se questa disuguaglianza non la conosci, dimostrare la continuità diventa oltremodo tedioso; però, ora che la sai, puoi procedere come segue.
Fissato [tex]$x_0\geq 0$[/tex], si ha:
[tex]$|\sqrt{x} -\sqrt{x_0}|\leq \sqrt{|x-x_0|}$[/tex],
ergo, preso [tex]$\varepsilon >0$[/tex], affinché risulti [tex]$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\varepsilon$[/tex] basta avere [tex]$\sqrt{|x-x_0|}<\varepsilon$[/tex], cioè [tex]$|x-x_0|<\varepsilon^2$[/tex]; ne consegue che, non appena si fissi [tex]$\delta_{x_0,\varepsilon}\leq \varepsilon^2$[/tex] si ha:
[tex]$|x-x_0|<\delta_{x_0,\varepsilon} \ \Rightarrow \ |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\varepsilon$[/tex].
Quindi [tex]$\sqrt{x}$[/tex] è continua in [tex]$x_0\in[0,+\infty[$[/tex] e, data l'arbitrarietà nella scelta di [tex]$x_0$[/tex], tale funzione è continua in [tex]$[0,+\infty[$[/tex]; anzi, visto che [tex]$\sup_{x_0\geq 0} \delta_{x_0,\varepsilon}=\varepsilon^2$[/tex] è finito, la funzione [tex]$\sqrt{x}$[/tex] è uniformemente continua in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].
Grazie mille,
adesso mi é entrato in testa
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