Continuità e uniforme continuità

[paolag1]

Non riesco a dimostrare che se $f: (a,b]-> RR$ è una funzione continua, la f risulta uniformemente continua in $(a,b]$ se e solo se esiste finito il $lim_(x->a^+) f(x)$. Se esiste finito questo limite, in qualche modo non posso rifarmi ad Heine- Cantor?
C'è qualcuno che può aiutarmi?

[Seneca1]

"paolag":Non riesco a dimostrare che se $f: (a,b]-> RR$ è una funzione continua, la f risulta uniformemente continua in $(a,b]$ se e solo se esiste finito il $lim_(x->a^+) f(x)$. Se esiste finito questo limite, in qualche modo non posso rifarmi ad Heine- Cantor?
C'è qualcuno che può aiutarmi?

$lim_(x->a^+) f(x) = lambda in RR$ , significa che puoi eliminare la discontinuità.

Penso che ti basti prolungare $f$ per continuità nel punto $a$. A quel punto avresti una funzione $f$ continua su un intervallo chiuso e limitato la quale è uniformemente continua.

[gugo82]

Se il limite esiste finito, allora la [tex]$f(x)$[/tex] si prolunga con continuità su [tex]$[a,b]$[/tex]; detto [tex]$\phi (x)$[/tex] il prolungamento continuo di [tex]$f(x)$[/tex], [tex]$\phi(x)$[/tex] è uniformemente continuo per H-C; allora [tex]$f(x)$[/tex] è la restrizione ad un sottoinsieme [tex]$\subseteq [a,b]$[/tex] di un'applicazione uniformemente continua, dunque...

[dissonance]

Infatti la cosa interessante qua è il viceversa. Se $f$ è uniformemente continua allora si può prolungare per continuità. Un fatto tecnicamente semplice ma è sorprendente (per me) vedere quante applicazioni ha.

[paolag1]

"gugo82":Se il limite esiste finito, allora la [tex]$f(x)$[/tex] si prolunga con continuità su [tex]$[a,b]$[/tex]; detto [tex]$\phi (x)$[/tex] il prolungamento continuo di [tex]$f(x)$[/tex], [tex]$\phi(x)$[/tex] è uniformemente continuo per H-C; allora [tex]$f(x)$[/tex] è la restrizione ad un sottoinsieme [tex]$\subseteq [a,b]$[/tex] di un'applicazione uniformemente continua, dunque...

...f(x) è uniformemente continua.
Per quanto riguarda l'implicazione contraria, poiché la f per H-C è uniformemente continua in [a,b], il limite non deve necessariamente esistere finito?

[gugo82]

Aspetta.

L'ipotesi ora è che [tex]$f(x)$[/tex] sia uniformemente continua in [tex]$]a,b]$[/tex] e ciò, a priori, non ti dà alcuna informazione sulla continuità di [tex]$f(x)$[/tex] in [tex]$[a,b]$[/tex] (anche perchè [tex]$f(x)$[/tex] non è nemmeno definita in [tex]$a$[/tex]).
Ora devi far vedere che dalla supposta uniforme continuità di [tex]$f(x)$[/tex] in [tex]$]a,b]$[/tex] discende che [tex]$\lim_{x\to a^+} f(x)$[/tex] esiste finito...

A me verrebbe in mente di usare il criterio di convergenza di Cauchy, ad esempio.

[paolag1]

"gugo82":Aspetta.

L'ipotesi ora è che [tex]$f(x)$[/tex] sia uniformemente continua in [tex]$]a,b]$[/tex] e ciò, a priori, non ti dà alcuna informazione sulla continuità di [tex]$f(x)$[/tex] in [tex]$[a,b]$[/tex] (anche perchè [tex]$f(x)$[/tex] non è nemmeno definita in [tex]$a$[/tex]).
Ora devi far vedere che dalla supposta uniforme continuità di [tex]$f(x)$[/tex] in [tex]$]a,b]$[/tex] discende che [tex]$\lim_{x\to a^+} f(x)$[/tex] esiste finito...

A me verrebbe in mente di usare il criterio di convergenza di Cauchy, ad esempio.

Il criterio di convergenza di Cauchy posso applicarlo in quanto, essendo la f uniformemente continua per ipotesi, sono sicura che per ogni ε>0, esiste un intorno V di a+ tale che
|f(x)-f(y)|<ε per ogni x,y ∈ (a,b]∩ V, giusto?

[gugo82]

Esatto.

Visto che per uniforme continuità hai:

[tex]$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta_\varepsilon >0:\ \forall x,y\in ]a,b]\ \text{con $|x-y|<\delta_\varespilon$},\ |f(x-f(y))|<\varepsilon$[/tex];

se prendi [tex]$x,y$[/tex] nell'intorno destro [tex]$]a,a+\delta_\varepsilon[$[/tex] hai [tex]$|x-y|<\delta_\varepsilon$[/tex] e dunque [tex]$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$[/tex], dunque a destra di [tex]$a$[/tex] è soddisfatto il criterio di convergenza di Cauchy; ma ciò equivale ad affermare che il [tex]$\lim_{x\to a^+} f(x)$[/tex] esiste finito.

[paolag1]

Grazie!!