Continuità è uniforme continuità

[lars1]

Perchè se una funzione f è continua in un intervallo chiuso e limitato allora essa è anche uniformemente continua?

[Lammah]

se una funzione f è continua in un intervallo chiuso e limitato essa è uniformemente continua per definizione..
edit: ho tolto un'affermazione che non era del tutto corretta..

[Thomas16]

ti suggerirei di riguardare le definizioni Lammah... quanto dici è errato...

[Lammah]

${AAepsilon>0} {EEdelta>0} : {|x-x_0| ${AAepsilon>0} {EEdelta>0} : {|x-x_0|
aggiungo qualche dettaglio per fare capire il punto...

la differenza tra la continuità semplice e quella uniforme è che mentre per la prima $delta$ dipende da $x_0$ e da $epsilon$, nella seconda dipende unicamente da $epsilon$... in questo modo possiamo trovare un $delta$ che vada bene per qualsiasi $x_o in A$ dove $A$ è l'intervallo compatto preso in considerazione...

[Sk_Anonymous]

"lars":Perchè se una funzione f è continua in un intervallo chiuso e limitato allora essa è anche uniformemente continua?

Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato possiede massimo assoluto.

[Luca.Lussardi]

Non e' esattamente questo il motivo, il motivo per il quale una funzione continua su un chiuso e limitato e' uniformemente continua sta nel fatto che il chiuso e limitato (almeno in dimensione finita) e' compatto, e questo fa si' che facilmente si possa dare una dimostrazione per assurdo.

[giuseppe87x]

Infatti Luca, si tratta del teorema di Cantor-Heine mi pare, o sbaglio?

[Luca.Lussardi]

Si', e' il Teorema di Heine-Cantor, per altro di dimostrazione semplice; basta negare l'uniforma continuita' e usare la compattezza delle successioni limitate.

[Sk_Anonymous]

Effettivamente, il fatto che la funzione ammetta massimo assoluto non c'entra una benemerita mazza.