Continuità e spazi

[kit79]

Ciao,
ho lo spazio di schwartz: $S(RR^n) = {phi in C^(oo) (RR^n) : |phi|_(alpha,beta) < oo}$ cioè esiste C per cui $|phi|_(alpha,beta) = max |x^alpha * D^beta*phi(x)| < C $ (per approfondire: wikipedia) alpha e beta sono come vettori $alpha=(alpha_1, ..., alpha_n)$ appartenenti a $NN^n$

Ho questa funzione:

$(T_a): S(RR^n) -> S(RR^n)$ per cui $(T_a phi)(x) = phi(x-a)$

Devo mostrare che l'applicazione (traslazione) è continua.

Sapendo che se $|phi| ->0$ segue $|T_a phi| ->0$ devo solo mostare quest'ultima cosa. Non so bene come fare con la definizione posta sopra a parte iniziando dicendo che $|phi(x-a)| -> 0$

Grazie a chi mi dà una mano. Ciao.

[alberto861]

la continuità segue anche dalla limitatezza per operatori lineari tra spazi di Banach o dalla prelimitatezza se gli spazi sono densi in uno spazio di Banach come il caso di $S(R^n)$...dunque $max_{x\in R^n} |x^{\alpha}D^{\beta} T_a(\varphi)(x)|=max_{x\in R^n} |x^{\alpha}D^{\beta} \varphi(x-a)|$ allora cambiando variabile $x-a=y$ si ha $=max_{y\in R^n} |(y+a)^{\alpha}D^{\beta} \varphi(y)|=max_{y\in R^n} |p(y,a)D^{\beta} \varphi(y)|$ dove $p(y,a)$ è il polinomio che deriva dallo sviluppo di $(y+a)^{\alpha}$ e dalla disuguaglianza triangolare $< \sum_{|j|=|\alpha|} max_{y\in R^n} |y^j a^{j^c} D^{\beta} \varphi(y)|< C\sum_{|j|=|\alpha|} |\varphi|_{j,\beta}$ dove $C$ maggiora i monomi in $a$, $j$ è il multindice dello sviluppo del polinomio e quindi l'operatore di traslazione è prelimitato (cioè ammette estensione continua) nella topologia di $S(R^n)$..con gli stessi conti mostri che se $|\varphi|_{\alpha,\beta}->0$ allora $|T_a(\varphi)|_{\alpha,\beta}->0$ $\forall \alpha, \beta$ e quindi hai il limite