Continuità e limiti delle funzioni in più variabili

[Uqbar]

Un caro saluto a tutta la comunità di Matematicamente.

Vorrei avvalermi del vostro aiuto riguardo una questione relativa al titolo del topic. In particolare, mi interesserebbe sapere come risolvere alcuni limiti, ad esempio:

$lim_(x,y->0,0)(y^3)/(x^2+y^2)$

Ovviamente, la pura sostituzione conduce ad un risultato $0/0$ non interessante. Facendo tendere $(x,y)$ a $(0,0)$ prima lungo l'asse x e poi lungo l'asse y si ottiene 0 in un caso e $y^3/y^2$ in un altro.

Come devo comportarmi? Esiste un modus operandi generale?

[Lorin1]

Di solito le tecniche le trovi anche su un normale libro di analisi matematica...comunque questi esercizi non hanno una sola tecnica da utilizzare per la risoluzione ma dipende molto da ciò che si ha davanti. Puoi provare ad esempio con le coordinate polari, oppure con qualche maggiorazione o avvicinandoti al punto di accumulazione con delle rette (particolari) o con delle curve.

[Uqbar]

"Lorin":Di solito le tecniche le trovi anche su un normale libro di analisi matematica...comunque questi esercizi non hanno una sola tecnica da utilizzare per la risoluzione ma dipende molto da ciò che si ha davanti. Puoi provare ad esempio con le coordinate polari, oppure con qualche maggiorazione o avvicinandoti al punto di accumulazione con delle rette (particolari) o con delle curve.

Sì, ho letto anch'io quali sono le tecniche più o meno standard da utilizzare, tuttavia quella che mi manca credo sia una visione d'insieme del problema. Credo che la risoluzione di alcuni casi specifici (come quello che ho postato) possa consentirmi di passare dal particolare al generale, per questo ho deciso di postarlo.

[Lorin1]

Mi verrebbe da dire...e quindi!?
Vedo solo che hai provato a sostituire le rette e stop...non vedo altri tentativi...

[Uqbar]

"Lorin":Mi verrebbe da dire...e quindi!?
Vedo solo che hai provato a sostituire le rette e stop...non vedo altri tentativi...

Ciò che intendo è che non mi è chiaro il senso geometrico della regoletta di sostituire le rette. E, inoltre, il fatto di ottenere, sull'asse delle y (x=0), un risultato del tipo $y^3/y^2$ cosa dovrebbe indurmi a pensare?

Probabilmente mi mancano un po' le basi formali del discorso: è per questo che ho chiesto il vostro aiuto

[Sk_Anonymous]

"Uqbar":[quote="Lorin"]Mi verrebbe da dire...e quindi!?
Vedo solo che hai provato a sostituire le rette e stop...non vedo altri tentativi...

Ciò che intendo è che non mi è chiaro il senso geometrico della regoletta di sostituire le rette. E, inoltre, il fatto di ottenere, sull'asse delle y (x=0), un risultato del tipo $y^3/y^2$ cosa dovrebbe indurmi a pensare?

Probabilmente mi mancano un po' le basi formali del discorso: è per questo che ho chiesto il vostro aiuto [/quote]
Il "metodo" delle restrizioni (alle rette, e non) lo puoi usare solo per dimostrare che un certo limite non esiste. Poiché un limite deve avere quel valore per ogni restrizione (quindi anche per ogni retta), se ne trovi due per cui questo non accade puoi concludere che il limite non esiste. Il senso "geometrico" è analogo a quello dei limiti in una variabile: in quel caso dovevano essere uguali i limiti da destra e da sinistra; adesso devono essere uguale i limiti da ogni direzione. Se così non è, il limite non esiste.
Ma non è il tuo caso, credo, poiché hai detto (non ho rifatto i calcoli) che su una retta ottieni $0$, in un'altra $y^3/y^2=y$ che per $(x,y) \to (0,0)$ tende comunque a $0$.
Puoi provare con il Teorema dei Carabinieri (è solo un'idea, non ho provato):
\[0 \leq |f(x,y)| \leq \ldots\]
Se riesci a trovare una funzione che maggiora $|f(x,y)|$ e che tende a $0$ per $(x,y) \to (0,0)$, allora puoi concludere che anche $|f(x,y)|$ tende a $0$ e dunque che anche $f(x,y)$ tende a $0$*.
________________________
* C'è un teoremino che ti dice che $|f(x)| \to 0 \Leftrightarrow f(x) \to 0$ per $x \to x_0$.

[dissonance]

Sono d'accordo con Giulio. Un mio tentativo di spiegare la faccenda risalente a qualche anno fa:

post369836.html#p369836