Continuità e differenziabilità di una funzione
ho trovato su internet il seguente esercizio che spero mi possiate aiutare a capire: una funzione $ f(x,y) $ vale $ (sin|xy|)/(x^2+y^2) $ se $ (x,y)≠(0,0) $ e $ 0 $ se $ (x,y)=(0,0) $
si afferma che in $ (0,0) $ la funzione non è continua studiando la continuità alla restrizione $ y=mx $ . ma non capisco come facciamo a dirlo perchè a me risulta che $ lim_(x -> 0) (sin|x(mx)|)/(x^2+(mx)^2)=0 $ che non dipende da m
e afferma anche che in (0,0) la funzione non è continua, è derivabile, non è differenziabile perchè non è continua..
si afferma che in $ (0,0) $ la funzione non è continua studiando la continuità alla restrizione $ y=mx $ . ma non capisco come facciamo a dirlo perchè a me risulta che $ lim_(x -> 0) (sin|x(mx)|)/(x^2+(mx)^2)=0 $ che non dipende da m
e afferma anche che in (0,0) la funzione non è continua, è derivabile, non è differenziabile perchè non è continua..
Risposte
Ha ragione la soluzione dell'esercizio. Perché dici che il limite per $x\to 0$ di $\frac{\sin|x(mx)|}{x^2+(mx)^2}$ è $0$? A me non risulta.
vero, ho ottenuto $ |m|/(1+m^2) $ .
questo esercizio racchiude un sacco di dubbi che ho sulla continuità e differenziabilità, posso abusare della tua disponibilità per farti una serie di domande a proposito?
questo esercizio racchiude un sacco di dubbi che ho sulla continuità e differenziabilità, posso abusare della tua disponibilità per farti una serie di domande a proposito?
Occhio, il limite è $\frac{|m|}{1+m^2}$ se $x \to 0^+$; altrimenti è $-\frac{|m|}{1+m^2}$.
Comunque, in ogni caso, non esiste.
Certo, dimmi pure! Rispondo volentieri, se sono in grado.
Comunque, in ogni caso, non esiste.
Certo, dimmi pure! Rispondo volentieri, se sono in grado.
ti ringrazio. vorrei procedere con calma e studiare dapprima la continuità della funzione. correggimi se sbaglio:
essa è continua in $ RR^2 $ \ $ (0,0) $ perchè composizione di funzioni continue. infatti il valore assoluto dà problemi solo quando il suo argomento è nullo, cosa che qui non si verifica perchè (x,y)≠(0,0) .
in (0,0) la funzione non è continua per il limite che abbiamo scritto.
ma devo anche studiare la continuità per (0,y) e (x,0)?
essa è continua in $ RR^2 $ \ $ (0,0) $ perchè composizione di funzioni continue. infatti il valore assoluto dà problemi solo quando il suo argomento è nullo, cosa che qui non si verifica perchè (x,y)≠(0,0) .
in (0,0) la funzione non è continua per il limite che abbiamo scritto.
ma devo anche studiare la continuità per (0,y) e (x,0)?
Prego! C'è un errore nel discorso sulla composizione di funzioni continue: è tutto giusto fino a quando dici che la funzione è continua in $\mathbb{R}^2\ setminus \{(0,0)\}$ perché composizione di funzioni continue in $\mathbb{R}^2\ setminus \{(0,0)\}$, ma quello che aggiungi dopo è sbagliato. Il modulo non dà assolutamente alcun problema di continuità in nessun punto di $\mathbb{R}^2$, perché è continuo sempre. Quindi il discorso finisce assolutamente lì, la funzione è continua in $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ perché composizione di funzioni continue in $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$. L'unico motivo per cui devi studiare l'origine separatamente è perché la funzione è definita a tratti, quindi a priori non sai cosa succede nel punto in cui la funzione cambia definizione.
Ti stai confondendo con la derivabilità, il modulo ha problemi di derivabilità quando il suo argomento si annulla.
Sì, la funzione non è continua perché affinché lo sia, per come è definita, deve avere limite nullo in $(0,0)$: ma, per quanto visto, il limite in $(0,0)$ non esiste e quindi, in particolare, non vale $0$ e quindi $f$ non è continua in $(0,0)$.
Quindi, per quanto appena detto, non devi studiare $(x,0)$ e $(0,y)$; proprio perché l'annullarsi del modulo in in quei punti non ti dà alcun problema di continuità per quanto ho scritto appena sopra.
Ti stai confondendo con la derivabilità, il modulo ha problemi di derivabilità quando il suo argomento si annulla.
Sì, la funzione non è continua perché affinché lo sia, per come è definita, deve avere limite nullo in $(0,0)$: ma, per quanto visto, il limite in $(0,0)$ non esiste e quindi, in particolare, non vale $0$ e quindi $f$ non è continua in $(0,0)$.
Quindi, per quanto appena detto, non devi studiare $(x,0)$ e $(0,y)$; proprio perché l'annullarsi del modulo in in quei punti non ti dà alcun problema di continuità per quanto ho scritto appena sopra.
sei stato chiarissimo! passiamo dunque a studiare la differenziabilità, dapprima in $ RR^2 $ \ $ (0,0) $ .
come hai detto tu il modulo ha problemi di derivabilità nei punti in cui il suo argomento si annulla, ossia in $ (0,y) $ e $ (x,0) $ .
studio la differenziabilità della funzione nei punti $ (x,0) $ vedendo se esistono e sono continue le derivate parziali $ (partialf)/(partial y)(x,0) $ e $ (partialf)/(partial x)(x,0) $ . quindi scrivo $ (partialf)/(partial x)(x,0)=lim_(h -> 0) (f(x+h,0)-f(x,0))/h=0 $ e $ (partialf)/(partial y)(x,0)=lim_(k -> 0) (f(x,k)-f(x,0))/k=lim_(k -> 0)1/k(sin|kx|)/(x^2+k^2)=lim_(k -> 0)1/k(|kx|)/(k^2+x^2) $ noto che $ (partialf)/(partial y)(x,0) $ non esiste (quindi la funzione non è differenziabile in $ (x,0) $ perchè una derivata (parziale) esiste se il limite dx e sx del rapporto incrementale coincidono ma qui questo limite non esiste. tuttavia questo limite esiste se x=0 e varrebbe 0. quindi concludo che la funzione è derivabile in (0,0) e non nei punti (x,0) con x≠0.
vale un ragionamento analogo per i punti (0,y) con y≠0.
come hai detto tu il modulo ha problemi di derivabilità nei punti in cui il suo argomento si annulla, ossia in $ (0,y) $ e $ (x,0) $ .
studio la differenziabilità della funzione nei punti $ (x,0) $ vedendo se esistono e sono continue le derivate parziali $ (partialf)/(partial y)(x,0) $ e $ (partialf)/(partial x)(x,0) $ . quindi scrivo $ (partialf)/(partial x)(x,0)=lim_(h -> 0) (f(x+h,0)-f(x,0))/h=0 $ e $ (partialf)/(partial y)(x,0)=lim_(k -> 0) (f(x,k)-f(x,0))/k=lim_(k -> 0)1/k(sin|kx|)/(x^2+k^2)=lim_(k -> 0)1/k(|kx|)/(k^2+x^2) $ noto che $ (partialf)/(partial y)(x,0) $ non esiste (quindi la funzione non è differenziabile in $ (x,0) $ perchè una derivata (parziale) esiste se il limite dx e sx del rapporto incrementale coincidono ma qui questo limite non esiste. tuttavia questo limite esiste se x=0 e varrebbe 0. quindi concludo che la funzione è derivabile in (0,0) e non nei punti (x,0) con x≠0.
vale un ragionamento analogo per i punti (0,y) con y≠0.
Sì, mi sembra corretto: ho fatto i conti un po' velocemente solo per $\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)$, ma mi ritrovo con i tuoi.
Quindi, per concludere, come mai non essendo $f$ continua in $(0,0)$ non neanche è differenziabile in $(0,0)$?
E come mai non è continua in $(0,0)$ essendo derivabile in $(0,0)$? Eppure derivabile implica continua, no?
Ti faccio queste domande così magari chiariamo anche questi punti, se c'è qualcosa che ti è oscuro.
Quindi, per concludere, come mai non essendo $f$ continua in $(0,0)$ non neanche è differenziabile in $(0,0)$?
E come mai non è continua in $(0,0)$ essendo derivabile in $(0,0)$? Eppure derivabile implica continua, no?
Ti faccio queste domande così magari chiariamo anche questi punti, se c'è qualcosa che ti è oscuro.
rispondo alla seconda domanda: la continuità in (0,0) non è garantita dalla derivabilità in (0.0) perchè affinchè sia continua serve anche la continuità delle derivate parziali.
per la prima domanda sono in difficoltà, infatti non ho capito come studiare la differenziabilità in (0,0)
per la prima domanda sono in difficoltà, infatti non ho capito come studiare la differenziabilità in (0,0)
forse perchè per essere differenziabile deve essere derivabile ma non è derivabile se non è continua?
Per la differenziabilità: mi pare tu l'abbia approcciata in un altro post, hai che $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$ se
$$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot h-\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
Che si scrive anche, ricordando le definizioni di prodotto scalare e di gradiente in $\mathbb{R}^2$, come
$$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h,y_0+k) -f(x_0,y_0)-\langle \nabla f(x_0,y_0),(h,k) \rangle}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
Quindi, in sostanza, devi calcolare un limite in due variabili; niente di più. Se il limite suddetto è $0$ bene, $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$, altrimenti nada.
Anche per la differenziabilità valgono dei teoremi generali tipo quello di composizione, ecc.; quindi dovresti ripassare prima dove le funzioni elementari sono differenziabili e i teoremi di differenziabilità di somma, composizione, prodotto, rapporto, ecc., per poi studiare i punti delicati a parte, come lo $(0,0)$ nel caso dell'esercizio di questo post.
Il fatto è che la differenziabilità implica la continuità, quindi la continuità è condizione necessaria per la differenziabilità; da ciò segue che, non essendo $f$ continua in $(0,0)$, non può essere differenziabile in $(0,0)$. Quindi la differenziabilità in $(0,0)$ la "studi" immediatamente dal fatto che, mancando la continuità in $(0,0)$, manca necessariamente anche la differenziabilità in $(0,0)$.
Stai usando qualche teorema per dire che se le derivate parziali sono continue in un punto allora la funzione è continua in quello stesso punto? Se sì, quale? Ricorda che ogni affermazione deve essere giustificata da un teorema, altrimenti non conta nulla.
Quello a cui volevo arrivare era questo: in $\mathbb{R}$ hai che la derivabilità implica la continuità, in più variabili ciò non vale più. Possono esistere funzioni derivabili ma non continue (tipo quella di questo post nell'origine!): ciò, ad esempio in due dimensioni, è dovuto alla natura unidimensionale delle derivate parziali (sono definite come limiti in una variabile), a differenza della continuità e della differenziabilità che sono concetti bidimensionali (sono definite come limiti in due variabili) e a tutto quel casino che, in più dimensioni, i limiti devono esistere lungo ogni curva passante per il punto interessato.
Tutto ciò si estende in maniera naturale ad un numero generico $n\geq2$ di dimensioni, per cui il discorso vale per funzioni di più variabili.
$$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cdot h-\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
Che si scrive anche, ricordando le definizioni di prodotto scalare e di gradiente in $\mathbb{R}^2$, come
$$\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(x_0+h,y_0+k) -f(x_0,y_0)-\langle \nabla f(x_0,y_0),(h,k) \rangle}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
Quindi, in sostanza, devi calcolare un limite in due variabili; niente di più. Se il limite suddetto è $0$ bene, $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$, altrimenti nada.
Anche per la differenziabilità valgono dei teoremi generali tipo quello di composizione, ecc.; quindi dovresti ripassare prima dove le funzioni elementari sono differenziabili e i teoremi di differenziabilità di somma, composizione, prodotto, rapporto, ecc., per poi studiare i punti delicati a parte, come lo $(0,0)$ nel caso dell'esercizio di questo post.
Il fatto è che la differenziabilità implica la continuità, quindi la continuità è condizione necessaria per la differenziabilità; da ciò segue che, non essendo $f$ continua in $(0,0)$, non può essere differenziabile in $(0,0)$. Quindi la differenziabilità in $(0,0)$ la "studi" immediatamente dal fatto che, mancando la continuità in $(0,0)$, manca necessariamente anche la differenziabilità in $(0,0)$.
Stai usando qualche teorema per dire che se le derivate parziali sono continue in un punto allora la funzione è continua in quello stesso punto? Se sì, quale? Ricorda che ogni affermazione deve essere giustificata da un teorema, altrimenti non conta nulla.
Quello a cui volevo arrivare era questo: in $\mathbb{R}$ hai che la derivabilità implica la continuità, in più variabili ciò non vale più. Possono esistere funzioni derivabili ma non continue (tipo quella di questo post nell'origine!): ciò, ad esempio in due dimensioni, è dovuto alla natura unidimensionale delle derivate parziali (sono definite come limiti in una variabile), a differenza della continuità e della differenziabilità che sono concetti bidimensionali (sono definite come limiti in due variabili) e a tutto quel casino che, in più dimensioni, i limiti devono esistere lungo ogni curva passante per il punto interessato.
Tutto ciò si estende in maniera naturale ad un numero generico $n\geq2$ di dimensioni, per cui il discorso vale per funzioni di più variabili.
"itisscience":
forse perchè per essere differenziabile deve essere derivabile ma non è derivabile se non è continua?
Scusami, questo l'ho letto dopo perché stavo scrivendo. La differenziabilità implica tutto, anche la derivabilità. Quindi sì, per essere differenziabile deve essere derivabile ma, in più dimensioni, non è vero che se non è continua allora non è derivabile (vedi il mio messaggio scritto appena prima).
Generalmente, uno se può studia subito la differenziabilità perché implica tutto. Ma non è sempre così immediato, quindi ogni tanto conviene studiare la continuità per assicurarsi che, nel caso non ci sia, non c'è neanche la differenziabilità (come per l'esempio di questo post nell'origine); o, come hai fatto tu prima, dato che la differenziabilità implica la derivabilità, uno può studiare la derivabilità e accorgersi che, se non esistono le derivate parziali, di certo non c'è differenziabilità.
Non c'è una regola generale, come spesso accade.
dunque, correggimi se sbaglio:
chiamiamo un punto generico "A".
la differenziabilità implica tutto: se f è differenziabile in A (e quindi le derivate parziali esistono in un intorno di A e sono anche continue in A) allora f è continua in A.
cioè la continuità è condizione necessaria per la differenziabilità, quindi
se f non è continua in A allora non è neanche differenziabile in A.
il teorema del differenziale totale dice che se le derivate parziali in un intorno di A esistono e sono continue in A allora f è differenziabile in A.
tuttavia una funzione può essere differenziabile in A anche se le derivate parziali non sono continue in A. allora in questi casi non posso applicare il teorema del differenziale totale perchè non sono rispettate le ipotesi e allora la differenziabilità come va studiata? altra domanda, nel limite (quello molto grande) che hai scritto, è per una funzione f(h,k) giusto?
una funzione continua in A può non essere derivabile in A (penso al valore assoluto con A preso nell’origine).
però mi hai detto che se le derivate parziali sono continue in A allora la funzione è continua in A.
non ricordo di che teorema si tratti.. attualmente però ho messo troppa carne sul fuoco, rileggerò tutto questo topic con calma a mente più lucida.
chiamiamo un punto generico "A".
la differenziabilità implica tutto: se f è differenziabile in A (e quindi le derivate parziali esistono in un intorno di A e sono anche continue in A) allora f è continua in A.
cioè la continuità è condizione necessaria per la differenziabilità, quindi
se f non è continua in A allora non è neanche differenziabile in A.
il teorema del differenziale totale dice che se le derivate parziali in un intorno di A esistono e sono continue in A allora f è differenziabile in A.
tuttavia una funzione può essere differenziabile in A anche se le derivate parziali non sono continue in A. allora in questi casi non posso applicare il teorema del differenziale totale perchè non sono rispettate le ipotesi e allora la differenziabilità come va studiata? altra domanda, nel limite (quello molto grande) che hai scritto, è per una funzione f(h,k) giusto?
una funzione continua in A può non essere derivabile in A (penso al valore assoluto con A preso nell’origine).
però mi hai detto che se le derivate parziali sono continue in A allora la funzione è continua in A.
non ricordo di che teorema si tratti.. attualmente però ho messo troppa carne sul fuoco, rileggerò tutto questo topic con calma a mente più lucida.
Tranquillo, è parecchia roba e sottile quando la si studia inizialmente; prenditi il tempo che ti serve!
C'è un errore: la parte "e sono anche continue".
Se $f$ è differenziabile in $A$ sei solo certo dell'esistenza delle derivate parziali (perché differenziabilità implica derivabilità) di $f$ in $A$, ma non sai nulla sulla continuità delle derivate parziali di $f$ in $A$.
Quindi cancella quella parte sulla continuità delle derivate parziali, il resto di quello che ho quotato qui sopra è tutto giusto.
Sì. Questa, come vedi, è una condizione sufficiente per la differenziabilità. Calcoli le derivate parziali in $A$ assicurandoti che esistano in un intorno di $A$, dimostri che sono continue in $A$ e hai la differenziabilità in $A$; ma non è necessaria, ossia esistono funzioni differenziabili in $A$ che hanno derivate parziali esistenti in un intorno di $A$ ma non continue in $A$ (che mostra l'errore concettuale che ho evidenziato in grassetto nell'altra parte che ho quotato sopra).
Appunto, quindi come vedi c'era una contraddizione in quello che dicevi: nella prima parte che ho quotato, sostenevi che differenziabile in $A$ implica derivate parziali continue in $A$ e ora sostieni che una funzione può essere differenziabile in $A$ anche se le derivate parziali non sono continue in $A$. Non preoccuparti eh, sono cose su cui uno deve riflettere un po' per capirle bene; però, come vedi, è questo il problema concettuale di cui ti parlavo prima.
Se non valgono le ipotesi dei teoremi sei alle strette e rimane quindi l'ultima spiaggia, ossia: la definizione. Perciò ti tocca calcolare il limite gigante in due variabili e sperare faccia $0$.
Sì, forse avrei dovuto dirlo: hai che $h=x-x_0$ e $k=y-y_0$: insomma, sono gli incrementi delle variabili indipendenti $x$ e $y$ che trovi anche nelle derivate parziali; il limite è fatto a $(x_0,y_0)$ fisso ed è un limite in due variabili per $(h,k) \to (0,0)$.
Sì, questo sempre: sia in una dimensione che in più dimensioni.
No aspetta, non penso di aver mai detto che se le derivate parziali sono continue in $A$ allora la funzione è continua in $A$. Anzi, non mi pare di aver parlato di continuità delle derivate parziali prima di questo messaggio. Se è successo mi sono sbagliato io, o ti stai confondendo in questo mare di concetti perché non ricordo di averlo mai detto; se lo ritrovi tra i messaggi quotalo per favore, almeno posso correggermi.
Ripeto: bisogna distinguere i due casi unidimensionale e più dimensioni. In una dimensione hai che derivabile implica continua (anche se la derivata non è continua), sempre. In più dimensioni invece non vale mai, solo la differenziabilità implica sia continuità che derivabilità.
"itisscience":
la differenziabilità implica tutto: se f è differenziabile in A (e quindi le derivate parziali esistono in un intorno di A e sono anche continue in A) allora f è continua in A.
cioè la continuità è condizione necessaria per la differenziabilità, quindi
se f non è continua in A allora non è neanche differenziabile in A.
C'è un errore: la parte "e sono anche continue".
Se $f$ è differenziabile in $A$ sei solo certo dell'esistenza delle derivate parziali (perché differenziabilità implica derivabilità) di $f$ in $A$, ma non sai nulla sulla continuità delle derivate parziali di $f$ in $A$.
Quindi cancella quella parte sulla continuità delle derivate parziali, il resto di quello che ho quotato qui sopra è tutto giusto.
"itisscience":
il teorema del differenziale totale dice che se le derivate parziali in un intorno di A esistono e sono continue in A allora f è differenziabile in A.
Sì. Questa, come vedi, è una condizione sufficiente per la differenziabilità. Calcoli le derivate parziali in $A$ assicurandoti che esistano in un intorno di $A$, dimostri che sono continue in $A$ e hai la differenziabilità in $A$; ma non è necessaria, ossia esistono funzioni differenziabili in $A$ che hanno derivate parziali esistenti in un intorno di $A$ ma non continue in $A$ (che mostra l'errore concettuale che ho evidenziato in grassetto nell'altra parte che ho quotato sopra).
"itisscience":
tuttavia una funzione può essere differenziabile in A anche se le derivate parziali non sono continue in A.
Appunto, quindi come vedi c'era una contraddizione in quello che dicevi: nella prima parte che ho quotato, sostenevi che differenziabile in $A$ implica derivate parziali continue in $A$ e ora sostieni che una funzione può essere differenziabile in $A$ anche se le derivate parziali non sono continue in $A$. Non preoccuparti eh, sono cose su cui uno deve riflettere un po' per capirle bene; però, come vedi, è questo il problema concettuale di cui ti parlavo prima.
"itisscience":
allora in questi casi non posso applicare il teorema del differenziale totale perchè non sono rispettate le ipotesi e allora la differenziabilità come va studiata?
Se non valgono le ipotesi dei teoremi sei alle strette e rimane quindi l'ultima spiaggia, ossia: la definizione. Perciò ti tocca calcolare il limite gigante in due variabili e sperare faccia $0$.
"itisscience":
Altra domanda, nel limite (quello molto grande) che hai scritto, è per una funzione f(h,k) giusto?
Sì, forse avrei dovuto dirlo: hai che $h=x-x_0$ e $k=y-y_0$: insomma, sono gli incrementi delle variabili indipendenti $x$ e $y$ che trovi anche nelle derivate parziali; il limite è fatto a $(x_0,y_0)$ fisso ed è un limite in due variabili per $(h,k) \to (0,0)$.
"itisscience":
una funzione continua in A può non essere derivabile in A (penso al valore assoluto con A preso nell’origine).
Sì, questo sempre: sia in una dimensione che in più dimensioni.
"itisscience":
però mi hai detto che se le derivate parziali sono continue in A allora la funzione è continua in A.
No aspetta, non penso di aver mai detto che se le derivate parziali sono continue in $A$ allora la funzione è continua in $A$. Anzi, non mi pare di aver parlato di continuità delle derivate parziali prima di questo messaggio. Se è successo mi sono sbagliato io, o ti stai confondendo in questo mare di concetti perché non ricordo di averlo mai detto; se lo ritrovi tra i messaggi quotalo per favore, almeno posso correggermi.
Ripeto: bisogna distinguere i due casi unidimensionale e più dimensioni. In una dimensione hai che derivabile implica continua (anche se la derivata non è continua), sempre. In più dimensioni invece non vale mai, solo la differenziabilità implica sia continuità che derivabilità.
Giusto per la tipica malignità dei vecchi vorrei far notare che la composizione di funzioni è stata trattata un po' allegramente.
Attenzione: il modulo (o valore assoluto) NON è definito su $\mathbb{R}^2$, ma su $\mathbb{R}$.
Quindi attenzione che parlare di
composizione di funzioni continue in $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$
è scorretto.
Pignoleria, però se non si sta attenti ad avere ben chiare queste piccole cose, poi si rischia di fare confusione.
Buona serata
"Mephlip":
Il modulo non dà assolutamente alcun problema di continuità in nessun punto di $\mathbb{R}^2$, perché è continuo sempre. Quindi il discorso finisce assolutamente lì, la funzione è continua in $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ perché composizione di funzioni continue in $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$.
Attenzione: il modulo (o valore assoluto) NON è definito su $\mathbb{R}^2$, ma su $\mathbb{R}$.
Quindi attenzione che parlare di
composizione di funzioni continue in $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$
è scorretto.
Pignoleria, però se non si sta attenti ad avere ben chiare queste piccole cose, poi si rischia di fare confusione.
Buona serata
Ciao Fioravante! Vediamo se ho afferrato cosa intendevi dirmi, mi concentrerò su $\sin |xy|$.
Siano $f_1:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f_1(u)=\sin u$, $f_2:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f_2(t)=|t|$ ed $f_3:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f_3(x,y)=xy$: consideriamo la composizione $f_1 \circ f_2 \circ f_3 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita da $(f_1 \circ f_2 \circ f_3)(x,y)=\sin |xy|$.
Dato che, nella composizione, il modulo ha dominio $\mathbb{R}$, non ha senso dire "il modulo non dà problemi di continuità in nessun punto di $\mathbb{R}^2$", perché esso ha dominio $\mathbb{R}$ e non $\mathbb{R}^2$!
Di conseguenza, il dettaglio malvagio è che il teorema di continuità della composizione di funzioni continue, nel caso della composizione del seno col modulo, si applica a una composizione di funzioni continue da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$; quindi è scorretto dire "composizione di funzioni continue in $\mathbb{R}^2$", perché le funzioni considerate di cui si sta facendo la composizione non sono tutte funzioni di dominio $\mathbb{R}^2$, quindi in realtà sarebbe più opportuno specificare che $f_1 \circ f_2 \circ f_3$ è una funzione continua in $\mathbb{R}^2$ in quanto composizione di una funzione continua da $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ e di una funzione continua da $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
Grazie per lo stimolo nel riflettere su queste cose! Buona serata anche a te.
Siano $f_1:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f_1(u)=\sin u$, $f_2:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f_2(t)=|t|$ ed $f_3:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f_3(x,y)=xy$: consideriamo la composizione $f_1 \circ f_2 \circ f_3 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definita da $(f_1 \circ f_2 \circ f_3)(x,y)=\sin |xy|$.
"Fioravante Patrone":
Attenzione: il modulo (o valore assoluto) NON è definito su $\mathbb{R}^2$, ma su $\mathbb{R}$.
Dato che, nella composizione, il modulo ha dominio $\mathbb{R}$, non ha senso dire "il modulo non dà problemi di continuità in nessun punto di $\mathbb{R}^2$", perché esso ha dominio $\mathbb{R}$ e non $\mathbb{R}^2$!
"Fioravante Patrone":
Quindi attenzione che parlare di
composizione di funzioni continue in $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$
è scorretto.
Di conseguenza, il dettaglio malvagio è che il teorema di continuità della composizione di funzioni continue, nel caso della composizione del seno col modulo, si applica a una composizione di funzioni continue da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$; quindi è scorretto dire "composizione di funzioni continue in $\mathbb{R}^2$", perché le funzioni considerate di cui si sta facendo la composizione non sono tutte funzioni di dominio $\mathbb{R}^2$, quindi in realtà sarebbe più opportuno specificare che $f_1 \circ f_2 \circ f_3$ è una funzione continua in $\mathbb{R}^2$ in quanto composizione di una funzione continua da $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ e di una funzione continua da $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
Grazie per lo stimolo nel riflettere su queste cose! Buona serata anche a te.
"Mephlip":
...
Grazie per lo stimolo nel riflettere su queste cose! Buona serata anche a te.
Buongiorno,
ma certo che hai compreso cosa intendevo dire, non avevo dubbi in merito. Era evidente che si trattava solo di una scrittura affrettata. Ma l'occhio addestrato di chi ha corretto un po' di scritti nella sua vita
'pv'wwwwwwvvv6666666666666666666666666NUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU3W1111111111111111111111111111 questo l'ha scritto il mio gattino
ha colto subito un errore abbastanza comune
Ciao e buona continuazione
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