Continuità e differenziabilità di una funzione

[Trivroach]

Ho la seguente funzione definita a tratti di cui devo discutere la continuità e la differenziabilità nel punto $ (0,0) $ :

$ f(x,y)= $

$ (x^3-xy)/(x^2+y^2)*e^x $ se $ (x,y)!=(0,0) $

$ 0 $ se $ (x,y)=(0,0) $

Sono un po' arrugginito su questo tipo di esercizi, chiedo conferma sul procedimento. Passando a coordinate polari scrivo il limite:

$ lim_(rho -> 0) ((rho^3*cos^3theta-rho^2costhetasentheta)*e^(rhocostheta))/(rho^2cos^2theta+rho^2cos^2theta)=lim_(rho -> 0) (rho*cos^3theta-costhetasentheta)*e^(rhocostheta)=-costhetasentheta $

Il limite quindi dipende da $ theta $ . Ciò è sufficiente per dire che non esiste e che quindi la funzione non è continua, e di conseguenza non è differenziabile?

Grazie mille.

[dissonance]

Certamente.

https://www.youtube.com/watch?v=MObMShKX_cU

(pardon non ho proprio potuto resistere )

[Trivroach]

Grazie. Quel video è epico

[donald_zeka]

No, non è affatto sufficiente invece. Quella condizione è una condizione sufficiente per la continuità, non necessaria.
Quando si trasforma in coordinate polari, detto l il limite della funzione, allora la funzione ha limite $l$ se esiste una funzione $g(rho)$ tale che $|f(x_0+rhocostheta, y_0+rhosintheta)-l|<=g(rho)$ e come ti ho detto, tale condizione è solo sufficiente ma non necessaria. Nel tuo caso sei stato fortunato perchè effettivamente la funzione non è continua, infatti basta considerare la restrizione $y=x$ e risulta che il limite fa 1.

[dissonance]

"Vulplasir":Nel tuo caso sei stato fortunato perchè effettivamente la funzione non è continua, infatti basta considerare la restrizione $y=x$ e risulta che il limite fa 1.

Ma è lo stesso che ha fatto Trivroach, solo che in coordinate polari, mentre tu usi coordinate cartesiane.