Continuità e differenziabilità di f(x,y)

[gbspeedy]

per studiare la continuità nell'origine di questa funzione al variare di $a in R^+$ devo passare alle coordinate polari?

f(x,y)=$(y^2+|x|^(2a))/(x^2+|y|^a)$ per $(x,y)!=(0,0)$ e $0$ se $(x,y)=(0,0)$

[Raptorista1]

Dipende... Se provi, cosa succede?

[gbspeedy]

$f(r,theta)=(r^2(sintheta)^2+r^(2a)|costheta|^(2a))/(r^2(costheta)^2+r^a|sintheta|^a)$

se $00^+) r^a |costheta|^(2a)/|sintheta|^a$ che converge a 0 per $theta!=kpi$

[Raptorista1]

[Premesso che non ho controllato i conti] E questo ti piace o non ti piace? Che cosa ti dice?

[gbspeedy]

posso dire che per 0

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[Raptorista1]

"gbspeedy":posso dire che per 0
Proprio no!

Infatti...

"gbspeedy":che converge a 0 per $theta!=kpi$

[gbspeedy]

quindi basta che ci sia un valore di $theta$ che scarto per non valere la continuità?

[Raptorista1]

No, basta che ci sia un valore di \(\theta\) per cui il limite è diverso [eventualmente non esiste].
Studiare un po' di teoria??

[gbspeedy]

adesso ho capito.

per la continuità di questa funzione nell'origine $f(x,y)=((x-1)y)/(log(1+y/x))$ passando in coordinate polari ottengo

$lim_(r->0^+) ((rcostheta-1) r sintheta)/(log(1+tantheta))$ e per $theta=pi/2$ la tangente non è definita e quindi non esiste il

limite?

[Raptorista1]

Nonono, mi sa che non ci stiamo capendo!
Rileggendo, prima mi sono espresso un po' male [e cripticamente!].
La situazione è questa: il limite lo fai "muovendoti" all'interno del dominio della funzione. Se il dominio della funzione risulta privato [ad esempio] di una retta, allora non puoi fare il limite lungo quella retta [né lungo un percorso che passi per quella retta], però questo non significa che il limite non esista.

In generale, provare che il limite esiste lungo qualunque retta non è sufficiente: ci sono infatti casi in cui il limite esiste ed è uguale su tutte le rette, ma poi non esiste o è diverso "muovendosi" lungo delle parabole.
Quello che devi fare è quindi cercare delle maggiorazioni che eliminino completamente la \(\theta\) delle coordinate polari dall'espressione della tua funzione, e far vedere che questa nuova grandezza, che quindi dipende solamente dal raggio \(\rho\), tende a zero.

[gbspeedy]

se considero $g(r)=r^a Sup_(theta in [0,2pi],theta!=kpi)|costheta|^(2a)/|sintheta|^a<=C r^a ->0 $ per $ r->0^+$ con $C$ costante reale positiva

[Raptorista1]

Se fosse così, ok; peccato però che quella relazione sia falsa
Non puoi trovare una \(C\) che soddisfi quella condizione.

[gbspeedy]

in un altro caso ho ottenuto $|(cos theta sqrt(sin theta))|/(|cos theta|)$.qui posso dire che è $<=1$?
se considero $g(r)=r^a Sup_(theta in [0,2pi],theta!=(pi/2)+kpi)|(cos theta sqrt(sin theta))|/(|cos theta|)<= r^a ->0 $ per $ r->0^+$

[Raptorista1]

In questo caso riesci a fare una maggiorazione?
Questa è facile facile, non dovresti avere dubbi...


[La risposta è "sì", ovviamente].

[gbspeedy]

"gbspeedy":in un altro caso ho ottenuto $|(cos theta sqrt(sin theta))|/(|cos theta|)$.qui posso dire che è $<=1$?
se considero $g(r)=r^a Sup_(theta in [0,2pi],theta!=(pi/2)+kpi)|(cos theta sqrt(sin theta))|/(|cos theta|)<= r^a ->0 $ per $ r->0^+$

il ragionamento che ho fatto qui è giusto?

[Raptorista1]

Ma perché continui a farmi le stesse domande? Non leggi quello che ti scrivo??

[gbspeedy]

scusami ma non ho capito la differenza.me la puoi spiegare sul''esempio che ho scritto?

[Raptorista1]

L'ultimo che hai scritto è giusto, ma è esattamente lo stesso che avevi scritto al messaggio prima, e che ti avevo già detto essere giusto!

[gbspeedy]

"gbspeedy":se considero $g(r)=r^a Sup_(theta in [0,2pi],theta!=kpi)|costheta|^(2a)/|sintheta|^a<=C r^a ->0 $ per $ r->0^+$ con $C$ costante reale positiva

ok.mentre di questo che cosa posso dire?

[Raptorista1]

Uffa, di nuovo?
Tanto la risposta è sempre la stessa: post697556.html#p697556

[gbspeedy]

la funzione in $theta$ è illimitata superiormente ( per questo non esiste C) e quindi dico che $g(r)->+oo$ e di conseguenza
la funzione f non è continua (per 0

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