Continuità e differenziabilità di f(x,y)
per studiare la continuità nell'origine di questa funzione al variare di $a in R^+$ devo passare alle coordinate polari?
f(x,y)=$(y^2+|x|^(2a))/(x^2+|y|^a)$ per $(x,y)!=(0,0)$ e $0$ se $(x,y)=(0,0)$
f(x,y)=$(y^2+|x|^(2a))/(x^2+|y|^a)$ per $(x,y)!=(0,0)$ e $0$ se $(x,y)=(0,0)$
Risposte
Già.
Una motivazione più analitica è questa; il limite in \((0,0)\) lo fai lungo un certo "percorso", come dicevo prima.
Un "percorso" è rappresentato, ad esempio, da una curva che puoi esprimere come \(y = y(x)\), oppure come \(\rho = \rho(\theta)\) o anche, ed è questa che ci serve adesso, \(\theta = \theta(\rho)\).
È chiaro allora che lungo una curva scelta volutamente male si avrà
\[
\lim_{(\rho, \theta) \to (0,\theta)} \rho^a \frac{|\cos \theta|^{2a}}{|\sin \theta|^a} = \{\theta = \theta(\rho) = \rho^5\} = \lim_{(\rho, \theta(\rho)) \to (0,\theta(0))} \rho^a \frac{|\cos (\theta(\rho))|^{2a}}{|\sin (\theta(\rho))|^a} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^a}{\rho^{5a}} = +\infty.
\]
È chiaro ora? Spero di sì, perché in caso contrario io abbandono l'argomento.
Una motivazione più analitica è questa; il limite in \((0,0)\) lo fai lungo un certo "percorso", come dicevo prima.
Un "percorso" è rappresentato, ad esempio, da una curva che puoi esprimere come \(y = y(x)\), oppure come \(\rho = \rho(\theta)\) o anche, ed è questa che ci serve adesso, \(\theta = \theta(\rho)\).
È chiaro allora che lungo una curva scelta volutamente male si avrà
\[
\lim_{(\rho, \theta) \to (0,\theta)} \rho^a \frac{|\cos \theta|^{2a}}{|\sin \theta|^a} = \{\theta = \theta(\rho) = \rho^5\} = \lim_{(\rho, \theta(\rho)) \to (0,\theta(0))} \rho^a \frac{|\cos (\theta(\rho))|^{2a}}{|\sin (\theta(\rho))|^a} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^a}{\rho^{5a}} = +\infty.
\]
È chiaro ora? Spero di sì, perché in caso contrario io abbandono l'argomento.
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