Continuità e differenziabilità di funzioni di due variabili
Ciao a tutti ,
ho appena iniziato questo tipo di esercizi e vorrei vedere se le mie prime idee sono corrette , se avete suggerimenti e/o correzioni sono sempre utilissimi.
Data una funzione $f(x,y)$ , che solitamente negli esercizi che ho fatto è definita a tratti ,devo spesso determinare la continuità e la differenziabilità . (Ps. nella maggior parte dei casi negli esercizi le dovevo calcolare nell'origine).
Per la continuità calcolo $lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y)$ e tramite vari metodi dimostro o che esiste o che esiste ; però se e solo se questo limite esiste ed assume lo stesso valore che la funzione ha nel punto in cui lo calcolo allora posso dire che $f(x,y)$ è continua in quel punto.
Per la differenziabilità , invece , so che una funzione è differenziabile se e solo se $lim_{(h,k)->(0,0)} {f(h,k)-f(x_0,y_0)-\nabla f(x_0,y_0) (h,k)}/{sqrt{h^2 + k^2}} =0$. Per arrivare a questa formula però prima devo calcolarmi le derivate direzionali in $(x_0 , y_0)$ così ottengo $\nabla f(x_0 , y_0)$ da inserire nella formula.
A questo punto risolvo il limite e se riesco a dimostrare che il limite esiste ed è effettivamente 0 allora $f(x,y)$ è differenziabile in $(x_0 , y_0)$.
Ecco ! Ci sono metodi migliori pIù giusti e veloci ? Scusate per eventuali "boiate"
Grazie
ho appena iniziato questo tipo di esercizi e vorrei vedere se le mie prime idee sono corrette , se avete suggerimenti e/o correzioni sono sempre utilissimi.
Data una funzione $f(x,y)$ , che solitamente negli esercizi che ho fatto è definita a tratti ,devo spesso determinare la continuità e la differenziabilità . (Ps. nella maggior parte dei casi negli esercizi le dovevo calcolare nell'origine).
Per la continuità calcolo $lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y)$ e tramite vari metodi dimostro o che esiste o che esiste ; però se e solo se questo limite esiste ed assume lo stesso valore che la funzione ha nel punto in cui lo calcolo allora posso dire che $f(x,y)$ è continua in quel punto.
Per la differenziabilità , invece , so che una funzione è differenziabile se e solo se $lim_{(h,k)->(0,0)} {f(h,k)-f(x_0,y_0)-\nabla f(x_0,y_0) (h,k)}/{sqrt{h^2 + k^2}} =0$. Per arrivare a questa formula però prima devo calcolarmi le derivate direzionali in $(x_0 , y_0)$ così ottengo $\nabla f(x_0 , y_0)$ da inserire nella formula.
A questo punto risolvo il limite e se riesco a dimostrare che il limite esiste ed è effettivamente 0 allora $f(x,y)$ è differenziabile in $(x_0 , y_0)$.
Ecco ! Ci sono metodi migliori pIù giusti e veloci ? Scusate per eventuali "boiate"
Grazie
Risposte
Quando dici che una funzione di due varibili è differenziabile in un punto, sostanzialmente, dici tre cose:
1) La funzione è continua nel punto.
2) La funzione ammette derivate direzionali (lungo ogni direzione),in quel punto e, lungo una direzione [tex]$\lambda$[/tex] valgono: [tex]$(\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex].
3) La funzione ammette il piano tangente nel punto.
Gli esercizi di cui parli si riconducono al dimostrare la validità delle 3 condizioni di cui sopra.
1) La funzione è continua nel punto.
2) La funzione ammette derivate direzionali (lungo ogni direzione),in quel punto e, lungo una direzione [tex]$\lambda$[/tex] valgono: [tex]$(\nabla f(P_0), \lambda)$[/tex].
3) La funzione ammette il piano tangente nel punto.
Gli esercizi di cui parli si riconducono al dimostrare la validità delle 3 condizioni di cui sopra.
In effeti si hai ragione , anche se il piano tangente non è sempre richiesto nei mie esercizi. Ma allora quando mi viene chiesto se una funzione in due funzioni è differenziabile , prima devo sempre dimostrare che è continua e che ammette le derivate direzionali ??
MMMh non mi piace tanto la risposta di Mathcrazy, è fuorviante. No, non devi procedere così. La cosa migliore è verificare direttamente la definizione di differenziabilità (ovvero fare quello che dici nel primo post): se questa è verificata la funzione è automaticamente anche continua.
Io trovo che le tue considerazioni del primo post siano corrette. Attento solo al fatto che non ti servono tutte le derivate direzionali ma solo quelle lungo le direzioni degli assi coordinati (le derivate parziali, per intenderci).
Io trovo che le tue considerazioni del primo post siano corrette. Attento solo al fatto che non ti servono tutte le derivate direzionali ma solo quelle lungo le direzioni degli assi coordinati (le derivate parziali, per intenderci).
Ma io infatti non ho dato il metodo, ho solo esposto la definizione di differenziabilità che credevo potesse aiutarlo a capire e che poi è quello a cui arriva con il suo procedimento..poi non saprei io così ricordo! 
Scusate l'intrusione allora!
Scusate l'intrusione allora!
se poi mi chiedono di vedere se in (0,0) ammette derivate direzionali secondo una qualsiasi direzione significa fare le derivate parziali per un vettore qualsiasi? quindi se a me il gradiente in (0.0) viene 0 allora non ci sono derivate direzionali nel punto?
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