Continuita' e differenziabilita' (Analisi 2)

[enzo818]

salve a tutti

il quesito di oggi è :

Data la funzione $f(x;y) =|y| xy $ si stabilisca se è continua e differenziabile...come si procede?? grazie

[dissonance]

Posta le tue idee prima, per favore.

[enzo818]

su questo purtroppo non so proprio come si fa... ho provato a vedere la differenziabilita' in 0 a destra e a sinistra e mi esce continua ma la prof mi ha detto che è sbagliato...

[walter891]

forse è sbagliata la differenziabilità perchè è facile verificare che in $0,0)$ la funzione è continua...

[enzo818]

"walter89":forse è sbagliata la differenziabilità perchè è facile verificare che in $0,0)$ la funzione è continua...

e quindi come si dovrebbe fare?

[j18eos]

Io inizierei con lo scrivere [tex]$f(x;y)=\begin{cases}xy^2\iff y>0\\0\iff y=0\\-xy^2\iff y<0\end{cases}$[/tex] e studiare la continuità!

[walter891]

si potrebbe provare ad usare la condizione sufficiente per la differenziabilità, la derivata rispetto a $x$ è banalmente continua in $(0,0)$
l'altra derivata è $f_y=((2xy,if y>=0),(-2xy,if y<0))$ e devi verificare se esiste continua in $(0,0)$

[enzo818]

"j18eos":Io inizierei con lo scrivere [tex]$f(x)=\begin{cases}xy^2\iff y>0\\0\iff y=0\\-xy^2\iff y<0\end{cases}$[/tex] e studiare la continuità!

ok ma per studiare la continuita' in una funzione a 2 variabili come si fa?

[j18eos]

Devi studiare la continuità di [tex]$f(x;y)$[/tex] al variare del segno di [tex]$y$[/tex], poi studi la continuità di [tex]$f$[/tex] per [tex]$y\to0^+$[/tex] e per [tex]$y\to0^-$[/tex]; in quanto lungo l'asse delle ascisse i vari pezzi della funzione si fondono in un unico pezzo. Purtroppo l'unico termine decente che mi viene da scrivere è "pezzo" in riferimento alla definizione equivalente di [tex]$f(x;y)$[/tex] che ho postato!