Continuità e differenziabilità

[Amartya]

Salve a tutti ho la seguente funzione:

$f(x,y) = {(xysen(1/(xy)), xy !=0), (0, xy=0):}$


devo dire se è continua in $R^2$, e differenziabile in $0$.

Che sia continua mi sembra evidentente facendo il limite di $x$ e $y$ che tendono a $0$ e la funzione assume valore uguale a $0$.

Ma non riesco a dire se sia differenziabile.

Suggerimenti?

Grazie.

[miuemia]

così ad occhio a me verrebbe da dire che non è differenziabile, in quanto se poni $xy=t$ allora la funzione di una variabile $t\sin(1/t)$ non è derivabile. però posso dire benisissmo delle stupidaggini.

[gugo82]

La tua \(f(x,y)\) ha sicuramente le derivate parziali prime in \(o=(0,0)\) (basta guardare come si comporta la funzione sugli assi).
Inoltre, si vede che in \(o\) esistono tutte le derivate direzionali della \(f(x,y)\).

Per provare anche la differenziabilità in \(o\) basta usare la definizione e ricordare qualche maggiorazione elementare.

[Amartya]

"gugo82":La tua \(f(x,y)\) ha sicuramente le derivate parziali prime in \(o=(0,0)\) (basta guardare come si comporta la funzione sugli assi).
Inoltre, si vede che in \(o\) esistono tutte le derivate direzionali della \(f(x,y)\).

Per provare anche la differenziabilità in \(o\) basta usare la definizione e ricordare qualche maggiorazione elementare.

Grazie, ma da quello che ho capito, l'esercizio mi chiede di provare che sia differenziabile in zero e non nell''origine. La funzione è definita tra $R^2->R$. Se fosse l'origine allora dalla definizione, accertatomi che esistono le derivate parziali nell'origine, allora porrei $h,k$ che tendono a $(0,0)$. Ma mi spiazza il fatto che si richieda di provare o meno se $f(x,y)$ è differenziabile in $0$.

[Amartya]

riesumo questo thread perchè ancora non ho capito come mostrare la differenziabilità in zero.

Idee?

[gugo82]

Beh... È del tutto evidente che nel testo dell'esercizio si intende lo zero di \(\mathbb{R}^2\) (i.e. \(o=(0,0)\)); altrimenti l'esercizio non avrebbe alcun senso.

[Amartya]

"gugo82":Beh... È del tutto evidente che nel testo dell'esercizio si intende lo zero di \(\mathbb{R}^2\) (i.e. \(o=(0,0)\)); altrimenti l'esercizio non avrebbe alcun senso.

ok, grazie, anche io intendo lo stesso, ma il fatto che mi confermi mi rassicura.