Continuità e differenziabilità
Ovviamente io mi ero preparato per i limiti a due variabili... ed ecco cosa ci propina il prof:
Studiare la continuità e la differenziabilità in (0,0) della seguente funzione
f(x,y)
{xylog|y| per y != 0
{0 per y = 0
l'unica cosa che sono riuscito a fare è il limite per x,y che tendono a zero della funzione... ma poi??
grazie a tutti!
Ivano
Modificato da - Ivano il 03/02/2004 18:02:54
Studiare la continuità e la differenziabilità in (0,0) della seguente funzione
f(x,y)
{xylog|y| per y != 0
{0 per y = 0
l'unica cosa che sono riuscito a fare è il limite per x,y che tendono a zero della funzione... ma poi??
grazie a tutti!
Ivano
Modificato da - Ivano il 03/02/2004 18:02:54
Risposte
La continuita' dlla funzione in (0,0) e' assicurata dal fatto che esiste lim(f(x,y)) per (x,y)--->(0,0).
La differenziabilita' in (0,0) implica l'esistenza in (0,0) delle derivate parziali prime (condizione necessaria ma non suffciente).Ora si puo' vedere che manca la derivata
parziale prima rispetto ad y (sempre in (0,0)).
Infatti ,applicando l'ordinaria definizione,risulta (per h-->0):
fy(x,0)=lim((x*(0+h)*ln(0+h)-x*0)/h)=x*lim(ln(h))=limite non finito.
Conclusione :la funzione non e' diff. in (0,0).
karl.
Modificato da - karl il 04/02/2004 16:11:07
La differenziabilita' in (0,0) implica l'esistenza in (0,0) delle derivate parziali prime (condizione necessaria ma non suffciente).Ora si puo' vedere che manca la derivata
parziale prima rispetto ad y (sempre in (0,0)).
Infatti ,applicando l'ordinaria definizione,risulta (per h-->0):
fy(x,0)=lim((x*(0+h)*ln(0+h)-x*0)/h)=x*lim(ln(h))=limite non finito.
Conclusione :la funzione non e' diff. in (0,0).
karl.
Modificato da - karl il 04/02/2004 16:11:07
karl, però in (0,0) x vale 0 quindi quel limite vale 0. Cioè la derivata parziale risp a y non esiste per ogni x diverso da 0 ma per x=0 (punto nel quale viene richiesta) vale 0.
Si può anche vedere così: la restrizione di f(x,y) all'asse y è
f(0,y) = 0 per ogni y
quindi la derivata parziale risp a y in ogni punto dell'asse y vale 0. Anche nell'origine quindi!
Si può anche vedere così: la restrizione di f(x,y) all'asse y è
f(0,y) = 0 per ogni y
quindi la derivata parziale risp a y in ogni punto dell'asse y vale 0. Anche nell'origine quindi!
In definitiva:
la derivata parziale risp a y è continua in (0,0) infatti vale 0 su tutto l'asse y.
Vediamo l'asse x:
f(x,0)= 0
Quindi la derivata parziale risp a y vale 0 in (0,0) e su tutto l'asse x.
Le due derivate parziali sono costanti (nulle) lungo l'asse x (quella risp a x) e lungo y (quella risp a y). Sono quindi anche continue (cond. suff. per la differenziabilità) ==> La funzione è differenziabile in (0,0).
Ricordo che la differenziabilità significa (geometricamente) l'esistenza del piano tangente. Dal grafico qui sotto "s'intuisce" come possa esistere il piano tangente nell'origine.
Modificato da - goblyn il 04/02/2004 17:38:11
la derivata parziale risp a y è continua in (0,0) infatti vale 0 su tutto l'asse y.
Vediamo l'asse x:
f(x,0)= 0
Quindi la derivata parziale risp a y vale 0 in (0,0) e su tutto l'asse x.
Le due derivate parziali sono costanti (nulle) lungo l'asse x (quella risp a x) e lungo y (quella risp a y). Sono quindi anche continue (cond. suff. per la differenziabilità) ==> La funzione è differenziabile in (0,0).
Ricordo che la differenziabilità significa (geometricamente) l'esistenza del piano tangente. Dal grafico qui sotto "s'intuisce" come possa esistere il piano tangente nell'origine.
Modificato da - goblyn il 04/02/2004 17:38:11
Un grafico vale piu' di mille parole!
karl.
karl.
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