Continuità e differenziabilità

[appa91]

Ragazzi una domanda veloce: se devo studiare la differenziabilità di una funzione in un punto devo prima verificarne la continuità o posso verificare subito la differenziabilità? Esempio:

$ f(x,y) = {((log^3(|x|) - y^3)^ alpha, if log|x|> y),(0, if log|x| <= y):}$

mi chiede la differenziabilità in $ (1,0) $ Verifico prima la continuità o direttamente la differenziabilità? Inoltre le derivate parziali in quel punto, se la funzione è continua, devono essere uguali a zero giusto?

[Brancaleone1]

E' giusto controllare prima la continuità della differenziabilità.

"appa91":Inoltre le derivate parziali in quel punto, se la funzione è continua, devono essere uguali a zero giusto?

Non devono, possono.

[appa91]

Però se le derivate parziali non fossero uguali a zero la funzione sarebbe comunque continua??

[Brancaleone1]

Non capisco perché una funzione debba essere localmente costante per essere continua
Esempio:
$f(x,y)=xy$, che vediamo bene è continua in $RR^2$. Se calcoliamo le derivate parziali in $(1,1)$:

$f_x=y=>f_x(1,1)=1$
$f_y=x=>f_y(1,1)=1$

ma la funzione è continua.

[appa91]

scusa mi sono spiegato male io... in questo caso specifico ho una funzione "sdoppiata". Cioè sotto la linea $ log|x| $ c'è la funzione, mentre sopra la funzione vale zero. Ora se voglio calcolare le derivate parziali lungo il punto $(1,0) $ dato che questo punto è sulla linea di separazione delle due funzioni, le derivate parziali devono risultare nulle affinchè la funzione sia continua in quel punto giusto?