Continuità e derivabilità in un esercizio

[booster180]

ciao non riesco a finire questo esercizio
devo determinare per quali parametri (a,b) la funzione è continua in x=0
$\{ ((tan(ax)/x se x>0),((-be^x + sin x +2x^2) se x<=0)):}$

allora io ho sviluppato i limiti per x->0 di entrambe le funzioni e ho trovato che per la continuità a=-b
poi ho determinato la derivata prima ma non riesco a proseguire nello sviluppo del limite delle derivata prima

piu precisamente mi blocco qui
$lim_(x->0) ((a/cos^2(x) - tan (ax))/x^2)$
questo limite mi risulta infinito
ho provato anche con wolframalpha

[riccacasa]

la soluzione è a=b=-1 i due grafici hanno tangente orizzontale per P=(o,-1)

[Giuly191]

"ricca":la soluzione è a=b=-1 i due grafici hanno tangente orizzontale per P=(o,-1)

Direi di no.

Per la continuità hai fatto bene booster, quella funzione è continua solo se $a=-b$. Per la derivabilità perchè non provi direttamente con il rapporto incrementale? (in molti casi è l'unico modo per uscirne, in questo no ma tu hai sbagliato a fare la derivata..)
La soluzione corretta dovrebbe essere che la funzione è derivabile per ogni $a$ (per ogni $a$ la derivata destra è nulla) e solo se $b=1$.

[booster180]

scusa ma perche ho sbagliato a fare la derivata?
non riesco a capire

[Brancaleone1]

Per derivare correttamente devi impiegare il teorema di derivazione per funzioni composte. In questo caso:

$d/{dx}\tan(ax) = a \cdot 1/{\cos^2(ax)}$

e perciò

$d/{dx}\tan(ax)/x=\frac{d/{dx}(\tan(ax)) \cdot x - d/{dx}(x) \cdot \tan(ax)}{x^2}= \frac{{ax} /{\cos^2(ax)}-\tan(ax)}{x^2}$

[booster180]

hai ragione ti ringrazio molto
comunque non riesco a sviluppare il limite per x->0
cioe mi blocco arrivando a $lim_(x->0)(ax-sin(ax) cos(ax))/(x^(2)cos^2(ax))$

[Brancaleone1]

Conosci gli sviluppi di MacLaurin? Puoi impiegarli per toglierti di mezzo $\sin(ax)cos(ax)$

[booster180]

perfetto ora provo

[booster180]

niente da fare con lo sviluppo di taylor mi sono incasinato perche non riesco a capire a che ordine fermarmi
mi sono fermato al secondo ordine e riducendo all osso e prendendo i termini di grado maggiore ottengo:

$lim_(x->0)(((a^3x^3)/6) +((a^3x^3)/6) -((a^5x^5)/12))/(x^2(1+x^2+(x^4/4) + o(x^2)))$

da cui risulta: $lim_(x->0)(-(a^5)/12) (x^5/x^4)$

quindi $lim_(x->0)(-(a^5)/12)x=0$


cosa ne dici?

[Brancaleone1]

$lim_(x->0)(((a^3x^3)/6) +((a^3x^3)/6) -((a^5x^5)/12))/(x^2(1+x^2+(x^4/4) + o(x^2)))$

?? Non so se è giusto (e non mi metterò a controllare i calcoli), ma anche se fosse ti sei fortemente complicato la vita...

Allora:
poiché $\sin(ax) \cos(ax)$ è infinitesimo per $x \to 0$, allora si può impiegare MacLaurin, e proprio poiché è infinitesimo ci si può benissimo fermare al primo ordine, perché tra gli infinitesimi conta quello di ordine più basso:

$\sin(ax) \cos(ax) = \sin(a0) \cos(a0) + (2a\cos^2(a0) -a)x+o(x)=ax+o(x)$

e perciò il limite diventa:

$lim_(x->0)(ax-sin(ax) cos(ax))/(x^(2)cos^2(ax))=lim_(x->0)(ax-ax)/(x^(2)cos^2(ax))= lim_(x->0)0/(x^(2)cos^2(ax))=0$

[Sk_Anonymous]

"Brancaleone":
$...=lim_(x->0)(ax-ax)/(x^(2)cos^2(ax))=lim_(x->0)0/(x^(2)cos^2(ax))=0$

Al numeratore si cancellano i termini del prim'ordine, non puoi assolutamente concludere in quel modo. Insomma, devi continuare lo sviluppo al numeratore.

[Brancaleone1]

Ah...
...quindi "mi veniva" $0$ per botta di fortuna... (se continuo lo sviluppo il numeratore arriva al terzo grado)

[booster180]

quindi come dovrebbe proseguire?

[Brancaleone1]

Come dice speculor, si continua lo sviluppo fino al prossimo grado e si ha così:

$lim_(x->0)(ax-sin(ax) cos(ax))/(x^(2)cos^2(ax))=lim_(x->0)(ax-ax+2/3a^3x^3)/(x^(2)cos^2(ax))= 0$