Continuità e derivabilità in due variabili
salve,
In funzioni di due variabili la derivabilità non implica la continuità.
Questo vuol dire che ci sono funzioni specialmente intendo funzioni definite a tratti che non sono continue ma sono derivabili in un punto del loro dominio?
vi ringrazio anticipatamente.
In funzioni di due variabili la derivabilità non implica la continuità.
Questo vuol dire che ci sono funzioni specialmente intendo funzioni definite a tratti che non sono continue ma sono derivabili in un punto del loro dominio?
vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Certo.
Ad esempio:
\[
f(x,y) := \begin{cases} 0 &\text{, se } x \neq 0 \land y \neq 0 \\ 1 &\text{, se } x=0 \lor y=0\end{cases}
\]
è derivatile rispetto alle due variabili in $(0,0)$ pur non essendo continua in tale punto.
Poi si possono creare esempi più belli, in cui hai derivabilità lungo tutte le direzioni uscenti da un punto senza avere continuità in tal punto.
Ad esempio:
\[
f(x,y) := \begin{cases} 0 &\text{, se } x \neq 0 \land y \neq 0 \\ 1 &\text{, se } x=0 \lor y=0\end{cases}
\]
è derivatile rispetto alle due variabili in $(0,0)$ pur non essendo continua in tale punto.
Poi si possono creare esempi più belli, in cui hai derivabilità lungo tutte le direzioni uscenti da un punto senza avere continuità in tal punto.
grazie Gugo,
questo è per me il primo step.
Perchè la vera domanda che mi inquieta è:
sapendo che:
se f è differenziabile in A implica che:
-f è continua in A
-f è derivabile in A
mentre dire che f è di classe C1(A) significa che:
la funzione Gradiente di f è continua in A, ma come credo di aver compreso adesso non necessariamente implica che f sia continua in A.
C1 implica differenziabile per la condizione sufficiente di differenziabilità, ma
differenziabile non implica C1.
allora, attenzione bene:
Come fa C1(A) a non ammettere necessariamente che f sia continua in A ad implicare la differenziabilità che implica che f sia necessariamente continua in A?
Spero di aver esposto bene il problema, grazie!
questo è per me il primo step.
Perchè la vera domanda che mi inquieta è:
sapendo che:
se f è differenziabile in A implica che:
-f è continua in A
-f è derivabile in A
mentre dire che f è di classe C1(A) significa che:
la funzione Gradiente di f è continua in A, ma come credo di aver compreso adesso non necessariamente implica che f sia continua in A.
C1 implica differenziabile per la condizione sufficiente di differenziabilità, ma
differenziabile non implica C1.
allora, attenzione bene:
Come fa C1(A) a non ammettere necessariamente che f sia continua in A ad implicare la differenziabilità che implica che f sia necessariamente continua in A?
Spero di aver esposto bene il problema, grazie!
Beh, dato che $f in C^1(A)$ (con $A$ aperto) equivale a dire che $f , f_x, f_y in C(A)$, è chiaro che c’è un errore.
scusami, ma l'esempio che proprio tu mi hai fatto:
$f(x,y) :=$ \begin{cases} 0 &\text{, se } x \neq 0 \land y \neq 0 \\ 1 &\text{, se } x=0 \lor y=0\end{cases}
mi fa pensare il contrario, $A=R^2$, è un insieme aperto, in cui $f(x,y)$ non è continua in $(0,0)$, ma è derivabile con derivata continua, quindi per la condizione sufficiente di differenziabilità è differenziabile in $(0,0)$
dove sbaglo?
$f(x,y) :=$ \begin{cases} 0 &\text{, se } x \neq 0 \land y \neq 0 \\ 1 &\text{, se } x=0 \lor y=0\end{cases}
mi fa pensare il contrario, $A=R^2$, è un insieme aperto, in cui $f(x,y)$ non è continua in $(0,0)$, ma è derivabile con derivata continua, quindi per la condizione sufficiente di differenziabilità è differenziabile in $(0,0)$
dove sbaglo?
Le derivate di quella funzione lì non sono nemmeno definite in tutto $RR^2$…
ma come no, $((delf(x,y))/(delx))=0$ e $((delf(x,y))/(dely))=0$ dove è che non sono definite?
L’uso di un forum, e ciò che differenzia principalmente il forum da una chat, è che bisogna riflettere bene prima di postare.
Ad esempio, mi calcoleresti la derivata prima della mia $f$ rispetto ad $y$ nel punto $(1,0)$?
E quanto vale la derivata prima rispetto ad $x$ nel punto $(0,-pi^e)$?
Ad esempio, mi calcoleresti la derivata prima della mia $f$ rispetto ad $y$ nel punto $(1,0)$?
E quanto vale la derivata prima rispetto ad $x$ nel punto $(0,-pi^e)$?
Mi dispiace, pensavo di aver riflettuto abbastanza.
Comunque in quei punti le derivate parziali non esistono, come in tutti i punti sull'asse delle x e sull'asse delle y. Ma è regola implicita controllare con la definizione di derivata parziale se ci possano essere dei problemi nei punti di raccordo?
Tirando le somme: la funzione è definita in $R^2$, non è continua sugli assi cartesiani e le derivate parziali non esistono sui punti degli assi cartesiani, la funzione non è C1($R^2$).
Se la funzione non è continua sugli assi non è nemmeno quindi differenziabile.
Comunque in quei punti le derivate parziali non esistono, come in tutti i punti sull'asse delle x e sull'asse delle y. Ma è regola implicita controllare con la definizione di derivata parziale se ci possano essere dei problemi nei punti di raccordo?
Tirando le somme: la funzione è definita in $R^2$, non è continua sugli assi cartesiani e le derivate parziali non esistono sui punti degli assi cartesiani, la funzione non è C1($R^2$).
Se la funzione non è continua sugli assi non è nemmeno quindi differenziabile.
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