Continuità e derivabilità funzione
Stabilire per quali $ a in RR $ la funzione :
$ { ( |x| ^(a) sin(1/x) per x != 0 ),( 0 per x = 0 ):} $
è continua e derivabile in 0.
Per la continuità mi risulta che la funzione è continua $ AA a > 1 $
Per quanto riguarda la derivabilità mi viene che il limite per $ xrarr 0 $ non esiste... , quindi ho pensato di calcolare il rapporto incrementale a destra e sinistra del punto x=0 e vedere se ammettonno lo stesso limite.
Il rapporto incrementale mi viene $ (|h| ^(a) )/h^(2) $ quindi ammettono lo stesso limite.
Volevo sapere se questi ragionamenti sono giusti.
Grazie mille
$ { ( |x| ^(a) sin(1/x) per x != 0 ),( 0 per x = 0 ):} $
è continua e derivabile in 0.
Per la continuità mi risulta che la funzione è continua $ AA a > 1 $
Per quanto riguarda la derivabilità mi viene che il limite per $ xrarr 0 $ non esiste... , quindi ho pensato di calcolare il rapporto incrementale a destra e sinistra del punto x=0 e vedere se ammettonno lo stesso limite.
Il rapporto incrementale mi viene $ (|h| ^(a) )/h^(2) $ quindi ammettono lo stesso limite.
Volevo sapere se questi ragionamenti sono giusti.
Grazie mille
Risposte
Trovo che la funzione è continua per $a>0$ (puoi controllare il $\sin$ con $1$ per esempio.
Mi sembra che per la derivabilità abbi dimenticato il $\sin$.
Prendiamo il limite riguardo alla successione $h_n =\frac 1{2n\pi+\frac{\pi}2}$. Se notiamo $f$ la funzione abbiamo $\frac{f(h_n)-f(0)}{h_n} =h_n^{a-1}$. Il limite esiste se $a\geq 1$. Si puo' verificare che infatti il limite $\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}h$ per $a>1$, e che non esiste per $a=1$.
Mi sembra che per la derivabilità abbi dimenticato il $\sin$.
Prendiamo il limite riguardo alla successione $h_n =\frac 1{2n\pi+\frac{\pi}2}$. Se notiamo $f$ la funzione abbiamo $\frac{f(h_n)-f(0)}{h_n} =h_n^{a-1}$. Il limite esiste se $a\geq 1$. Si puo' verificare che infatti il limite $\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}h$ per $a>1$, e che non esiste per $a=1$.
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