Continuità e derivabilità di una particolare funzione

[Andrew Ryan]

Ieri all'esame avevo un esercizio del tipo,"dire per quali valori di $ alpha $ la funzione è continua su tutto \( \Re \) e per quali è derivabile su tutto \( \Re \) "

la funzione era la seguente:

$ F_alpha(x)={ (xsin(x) " se " x<=0),( x^(2alpha) " se " -1
Ho fatto il limite per x->0 della prima,il limite per x->-1 della terza,poi ho fatto sia il limite per x->-1 sia per x->0 della seconda e ho di conseguenza scelto un alpha che mi dava lo stesso valore dei limiti della prima e della terza,quindi alpha da 1 in poi per far si che la funzione fosse continua su tutto \( \Re \)

Dopodichè ho fatto le 3 derivate delle funzioni che componevano $ F_alpha(x) $ e ho rifatto la stessa cosa,ovvero ho calcolato i limiti come nella prima parte dell'esercizio e ho scelto $alpha$ in modo che $F'_alpha(x)$ fosse continua su tutto \( \Re \)

è giusto?

[ciampax]

Se ho capito bene quello che hai scritto mi sembra di nì.

nel senso che per verificare la derivabilità nei punti $-1,\ 0$ avresti dovuto, più correttamente, calcolare i limiti dei rapporti incrementali destro e sinistro.

Ora, la continuità mi sembra garantita a patto che $\alpha$ sia un numero intero. Calcolando i limiti dei vari rapporti incrementali mi pare che venga fuori $\alpha=0$.