Continuità e Derivabilità di una funzione con 2 parametri

[Flypendo]

Salve a tutti,
sono alle prese con lo studio di continuità e derivabilità di questa funzione definita a tratti:

x^2* ln (1+1/x) + 1 se x>0
1 se x=0
\alpha *e^(1/x) +\beta *arctan(1/x) se x<0

e non riesco a calcolare i limiti da destra e da sinistra con Taylor.

Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

[pilloeffe]

Ciao Flypendo,

Innanzitutto riscriviamo bene la funzione, cosa che puoi fare anche tu correggendo il post iniziale dopo aver visto come l'ho scritta io (se ho capito bene ed è quella che intendevi):

$f(x) = {(x^2\ln (1+1/x) + 1, text{ se } x > 0),(1, text{ se } x = 0), (\alpha e^(1/x) + \beta arctan(1/x), text{ se } x < 0):}$

La funzione $f(x)$ è definita in $D = \RR$ e si ha:

$lim_{x \to 0^+} f(x) = lim_{x \to 0^+} [x^2\ln (1+1/x) + 1] = 0 + 1 = 1$

$lim_{x \to 0^-} f(x) = lim_{x \to 0^-} [\alpha e^(1/x) + \beta arctan(1/x)] = 0 - \beta frac{\pi}{2} = - \beta frac{\pi}{2}$

Perciò se desideri che sia continua in $x_0 = 0$, dovendo essere i due limiti a destra e a sinistra di $x_0 = 0$ uguali fra loro ed uguali a $f(x_0) = f(0) = 1$, deve essere $\beta = - frac{2}{\pi}$.
Ora dovresti riuscire a continuare autonomamente per la derivabilità...