Continuità e derivabilità di una funzione
Salve ragazzi,
vi propongo questa funzione di cui si chiede di studiarne la continuità e derivabilità:
$\f(x)={(ln(1+x), x≥0),(|1+x|-1, x<0):}$
Ovviamente, f derivabile => f continua, per studiare la derivabilità pongo il limite per x che tende a zero da destra uguale a quello che tende a sinistra. Il mio dubbio è: quando studio il limite di x che tende a sinistra il valore assoluto assume valori negativi? Cioè diventa -1-x-1.
$lim_(x->0+)(ln(1+x)) = lim_(x->0-)(-1-x-1)$
Vi ringrazio in anticipo.
vi propongo questa funzione di cui si chiede di studiarne la continuità e derivabilità:
$\f(x)={(ln(1+x), x≥0),(|1+x|-1, x<0):}$
Ovviamente, f derivabile => f continua, per studiare la derivabilità pongo il limite per x che tende a zero da destra uguale a quello che tende a sinistra. Il mio dubbio è: quando studio il limite di x che tende a sinistra il valore assoluto assume valori negativi? Cioè diventa -1-x-1.
$lim_(x->0+)(ln(1+x)) = lim_(x->0-)(-1-x-1)$
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Ciao, benvenuto.
Il valore assoluto non è negativo in alcun caso. Intuitivamente, se ci metti $0^-$ al posto di $x$ ottieni
\[|1+0^-|-1=|1^-|-1=1^--1=0^-\]
"Trimalcione":
Il mio dubbio è: quando studio il limite di x che tende a sinistra il valore assoluto assume valori negativi? Cioè diventa -1-x-1. Vi ringrazio in anticipo.
Il valore assoluto non è negativo in alcun caso. Intuitivamente, se ci metti $0^-$ al posto di $x$ ottieni
\[|1+0^-|-1=|1^-|-1=1^--1=0^-\]
Grazie, gentilissimo. Dunque f risulta derivabile e, di conseguenza, continua.
Beh, veramente in questo modo hai verificato che la funzione è continua in $x=0$, mica che è derivabile...
Ma non basta che il limite destro e sinistro siano finiti?
Sì, ma non i limiti di $f$, bensì quelli di $f'$. Se verifichi che
\[\exists \lim_{x\to c}f(x)=f(c)\]
ovvero che
\[\exists \lim_{x\to c^+}f(x)=f(c)\wedge \exists \lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)\]
allora puoi dire che $f$ è continua in $c$ (punto di accumulazione per il dominio), ma non che $f$ è derivabile.
\[\exists \lim_{x\to c}f(x)=f(c)\]
ovvero che
\[\exists \lim_{x\to c^+}f(x)=f(c)\wedge \exists \lim_{x\to c^-}f(x)=f(c)\]
allora puoi dire che $f$ è continua in $c$ (punto di accumulazione per il dominio), ma non che $f$ è derivabile.
Ok, grazie ancora.
Di niente...bel nick comunque 
"Plepp":
Di niente...bel nick comunque
Intelligenti pauca.
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