Continuità e derivabilità di una funzione
Salve ragazzi, ho questa funzione f(x): $ (2-x-sqrt(|x-1|)) / log x $ l'esercizio mi chiede di determinare campo di esistenza, controimmagine in $[0,+oo)$ e di studiare la continuità e la derivabilità di f(x).
Ora per quanto riguarda l'insieme di definizione credo non ci siano problemi, ho messo a sistema:
$ log x!= 0 $
$ x > 0 $
$ |x-1| > 0 $
che come soluzioni mi ha dato $(0, 1)$ e $(1,+oo)$ (giusto??)
Per la controimmagine devo porre la funzione $>=0$ e trovare le soluzioni, giusto?
Il mio problema riguarda la continuità e la derivabilità.. ho letto molte discussioni su questo forum a riguardo ma comunque non sono riuscito a capirle per bene. Questa funzione dovrebbe essere continua nel suo insieme di definizione, vale a dire in $(0, 1)$ e $(1,+oo)$ e la domanda che mi dovrei porre è cosa succede in 0+ e 1 e capirlo calcolando i limiti in quei punti?
Inizio prima con il cercare di risolvere questi fastidiosissimi dubbi.
Grazie anticipatamente!
Ora per quanto riguarda l'insieme di definizione credo non ci siano problemi, ho messo a sistema:
$ log x!= 0 $
$ x > 0 $
$ |x-1| > 0 $
che come soluzioni mi ha dato $(0, 1)$ e $(1,+oo)$ (giusto??)
Per la controimmagine devo porre la funzione $>=0$ e trovare le soluzioni, giusto?
Il mio problema riguarda la continuità e la derivabilità.. ho letto molte discussioni su questo forum a riguardo ma comunque non sono riuscito a capirle per bene. Questa funzione dovrebbe essere continua nel suo insieme di definizione, vale a dire in $(0, 1)$ e $(1,+oo)$ e la domanda che mi dovrei porre è cosa succede in 0+ e 1 e capirlo calcolando i limiti in quei punti?
Inizio prima con il cercare di risolvere questi fastidiosissimi dubbi.
Grazie anticipatamente!
Risposte
Per il dominio la condizione [tex]|x-1|>0[/tex] mi sembra un'attimino inutile 
Si, per la continuià devi calcolare i limiti in quei punti.
Si, per la continuià devi calcolare i limiti in quei punti.
Si, si, è sempre positivo ma l'ho incluso per far capire che non l'avevo dimenticato 
Allora, in $0+$ il limite mi viene 0, quindi devo dedurre che la funzione in 0 è continua? Mentre in $1-$ viene $-oo$ e in $1+$ viene $+oo$, quindi in 1 c'è una discontinuità di seconda specie? Inoltre in 1 dovrebbe anche esserci un asintoto verticale, no?
Ora, per la derivabilità come devo procedere?
Allora, in $0+$ il limite mi viene 0, quindi devo dedurre che la funzione in 0 è continua? Mentre in $1-$ viene $-oo$ e in $1+$ viene $+oo$, quindi in 1 c'è una discontinuità di seconda specie? Inoltre in 1 dovrebbe anche esserci un asintoto verticale, no?
Ora, per la derivabilità come devo procedere?
marco per curiosità che università ed indirizzo frequenti tu? questo esercizio si trova anche tra gli esempi d'esame della mia prof d analisi 1!! comunque io avrei semplicemente calcolato la derivata prima avrei fatto il C.E. della derivata ed infatti il dominio combacia proprio con quello della derivata!!! ovviamente vedere i punti in cui la funzione è derivabile è implicito dire che in quei punti è anche continua!!
Politecnico di Torino! Anche tu?
Comunque dici di calcolare separatamente le derivate per $ x in (0,1) $ e poi per $ x in (1,+oo) $ e calcolarne il dominio? Mentre in 0 e 1 calcolare la derivata con il rapporto incrementale?
Comunque dici di calcolare separatamente le derivate per $ x in (0,1) $ e poi per $ x in (1,+oo) $ e calcolarne il dominio? Mentre in 0 e 1 calcolare la derivata con il rapporto incrementale?
no io a Napoli!!! no intendevo calcolare la derivata prima e farne il doiminio!! semplice semplice
Ma scusami, nel punto 1 secondo i tuoi calcoli e derivabile o meno?
marco ora posto il calcolo: nel calcolo della derivata dellafunzione alla fine otterrai questo:
$f'(x)=(-x^2-2sqrt(x-1)(2x+1))/(2x^2sqrt(x-1)logx)$ fai il dominio di questa derivata ed vedrai che esisterà $AA x>1$ quindi lascio a te le conclusioni!!
P.S. nel punto 1 la funzione non è derivabile ma ciò non toglie che possa essere continua!!
$f'(x)=(-x^2-2sqrt(x-1)(2x+1))/(2x^2sqrt(x-1)logx)$ fai il dominio di questa derivata ed vedrai che esisterà $AA x>1$ quindi lascio a te le conclusioni!!
P.S. nel punto 1 la funzione non è derivabile ma ciò non toglie che possa essere continua!!
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