Continuità e derivabilità di una funzione
Salve,
ecco l'esercizio che mi crea difficoltà:
"Calcola $a$ e $b$ in modo che la funzione $f(x)$ che è uguale (scusate se non metto la graffa) a $x^3+ax$ per $x<=1$ e a $asqrt(x)+b$ per $x>1$ sia derivabile nel punto $x=1$. Scrivi la derivata di $f(x)$."
Affinchè una funzione sia derivabile in un punto, è necessario che la sua derivata sinistra e la sua derivata destra in quel punto siano, ovviamente, finite e che coincidano. Dunque, a rigor di logica, dovrei "eguagliare" derivata destra e derivata sinistra nel punto $x=1$ .
Per cui, derivando rispetto ad $x$, ottengo $3x^2+a$ come derivata destra e $a/(2sqrt(x))$ come derivata sinistra. Calcolo le derivate stesse nel punto $1$ da considerare, e le eguaglio... ho il valore $a=-6$ che penso sia giusto. Ora, mi sento come perso in un bicchiere d'acqua perchè non riesco a trovare $b$ che però intuitivamente credo sia $1$... Come trovo $b$?
E in generale, qual è il metodo di risoluzione "standard" per esercizi del genere (dovessi farne altri, li avrò capiti...)?
Grazie anticipatamente.
ecco l'esercizio che mi crea difficoltà:
"Calcola $a$ e $b$ in modo che la funzione $f(x)$ che è uguale (scusate se non metto la graffa) a $x^3+ax$ per $x<=1$ e a $asqrt(x)+b$ per $x>1$ sia derivabile nel punto $x=1$. Scrivi la derivata di $f(x)$."
Affinchè una funzione sia derivabile in un punto, è necessario che la sua derivata sinistra e la sua derivata destra in quel punto siano, ovviamente, finite e che coincidano. Dunque, a rigor di logica, dovrei "eguagliare" derivata destra e derivata sinistra nel punto $x=1$ .
Per cui, derivando rispetto ad $x$, ottengo $3x^2+a$ come derivata destra e $a/(2sqrt(x))$ come derivata sinistra. Calcolo le derivate stesse nel punto $1$ da considerare, e le eguaglio... ho il valore $a=-6$ che penso sia giusto. Ora, mi sento come perso in un bicchiere d'acqua perchè non riesco a trovare $b$ che però intuitivamente credo sia $1$... Come trovo $b$?
E in generale, qual è il metodo di risoluzione "standard" per esercizi del genere (dovessi farne altri, li avrò capiti...)?
Grazie anticipatamente.
Risposte
In generale una funzione prima di essere derivabile deve essere continua, quindi il valore di $b$ lo trovi imponendo la continuità della funzione per $xto1$
La continuità come dice walter89 è condizione di derivabilità . Il tuo procedimento è giusto ma possiamo dire "anticipato",(imposta la condizione di continuità in primis): imponi la continuità in $x->1$.Una funzione si dice continua quando $ lim_(x -> x0) f(x)=f(x0) $ . Studia il limite della funzione in 1 da sx e dx . Questi due limiti devono essere uguali sennò ci troviamo di fronte ad una discontinuità di prima specie (salto). Applica ora il concetto di derivabilità da te correttamente espresso prima e dovresti giungere al risultato. Non so se mi son espresso bene, se ti serve la soluzione chiedi pure.
$ { ( x^3-ax , x<=1 ),( a sqrt(x)+b , x>1 ):} $
é derivabile in x=1 ?
Imponiamo la continuità in x=1:
$ lim_(x -> 1-) x^3-ax = lim_(x->1+) a sqrt(x) + b $
da cui:
$ 1-a = 2+b $ cioè $ b=1-2a $
Ora, ricaviamo b:
Poniamo la condizione di derivabilità $ lim_(x -> 1-) f'(x) = lim_(x->1+) f'(x) $
una volta calcolate le derivate, (le tue sono corrette) otteniamo l'uguaglianza
$ lim_(x -> 1-) 3x^2+a = lim_(x->1+) a/2sqrt(x) $
che corrisponde a $3+a = a/2$, che come da te correttamente calcolato da come risultato $ a=-6 $.
Dal precedente risultato per la continuità $b=1-2(-6)=13$
La coppia di valore a,b per cui la funzione f(x) è derivabile in x=1 è (-6,13).
Questi esercizi di solito sono i preferiti dai professori negli esami di analisi 1 ,ricordo 2 di essi all'esame. Il metodo di risoluzione può variare, ma in generale si fa come ho risolto io. Ciao!
é derivabile in x=1 ?
Imponiamo la continuità in x=1:
$ lim_(x -> 1-) x^3-ax = lim_(x->1+) a sqrt(x) + b $
da cui:
$ 1-a = 2+b $ cioè $ b=1-2a $
Ora, ricaviamo b:
Poniamo la condizione di derivabilità $ lim_(x -> 1-) f'(x) = lim_(x->1+) f'(x) $
una volta calcolate le derivate, (le tue sono corrette) otteniamo l'uguaglianza
$ lim_(x -> 1-) 3x^2+a = lim_(x->1+) a/2sqrt(x) $
che corrisponde a $3+a = a/2$, che come da te correttamente calcolato da come risultato $ a=-6 $.
Dal precedente risultato per la continuità $b=1-2(-6)=13$
La coppia di valore a,b per cui la funzione f(x) è derivabile in x=1 è (-6,13).
Questi esercizi di solito sono i preferiti dai professori negli esami di analisi 1 ,ricordo 2 di essi all'esame. Il metodo di risoluzione può variare, ma in generale si fa come ho risolto io. Ciao!
"Kiliz":Ma no! Per favore, rileggi questa frase, sicuramente non volevi dire quello che hai detto. Poi correggi. Grazie.
La continuità come dice walter89 implica derivabilità e viceversa
Hihi ... Bestemmia immensa !! Chiedo perdono agli dei della matematica ... Volevo dire che la continuità e' condizione necessaria per la derivabilita !! Chiedoo perdono !!
[OT]
Ed anche a quelli della grammatica...
[/OT]
"Kiliz":
Bestemmia immensa !! Chiedo perdono ai dei della matematica...
Ed anche a quelli della grammatica...
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! dai questa passamela 
! è una svista grammaticale da poco... "Agli Dei" ok? 
altro !!?
Ho corretto i post sia dal punto di vista matematico che grammaticale , mi scuso per l'errore.
! è una svista grammaticale da poco... "Agli Dei" ok? altro !!?Ho corretto i post sia dal punto di vista matematico che grammaticale , mi scuso per l'errore.
Grazie mille a tutti, in particolare a Kiliz... alla prossima! 
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