Continuità e derivabilità di funzione

[chess71]

Non capisco questa affermazione.

Sia $f(x)$ una funzione reale continua definita su tutto l'asse reale.
Supponiamo che la $f(x)$ subisca nell'intervallo $[-5,5]$ un incremento pari a 100.
Supponiamo inoltre che la $f(x)$ sia derivabile nell'intervallo aperto $(-5,5)$.

Allora 10 appartiene all'insieme $V$ della derivata prima $ V={dotf(x) : -5<=x<=5}$

Qualcuno puo' illuminarmi?

[Hadronen]

Mi sembra un'applicazione del teorema di Lagrange...

[chess71]

ho rivisto il teorema

quindi esiste un punto $c$ all'interno dell'intervallo $(-5,5)$ tale :

$dotf(c)= (f(5)-f(-5))/10$

adesso bisogna capire cosa implica il fatto che la $f$ è raddoppiata

[Hadronen]

Il Teorema di Lagrange ci dice che:
esiste uno $xi$ tale che $f(b) - f(a) = (b - a)f'(xi)$ con $xi in [a, b]$ .

Dunque, credo che si possa fare così:

$f(5) - f(-5) = f'(xi)(5 - (-5))$

$ (f(-5)+100) - f(-5) = f'(xi)(10) $

$ 100 = f'(xi)(10) $

$ f'(xi) = 10$

... per uno $xi in [-5, 5]$

[chess71]

non capisco: perchè sommi 100 solo ad un estremo della $f$?

[Hadronen]

Se $f(x)$ subisce un incremento pari a 100 nell'intervallo $[-5,5]$ , per me vuol dire che, se $f(-5) = a$ , allora $f(5) = a + 100$ con $a in RR$.

[chess71]

si. In effetti, con questa interpretazione, l'affermazione di partenza risulta avere senso.
grazie