Continuità e derivabilità.
Devo dire dove questa funzione è continua e dove è derivabile:
$f(x) = xsqrt(2 - lnx)$
Il dominio è (0,e^2] e i limiti agli estremi dovrebbero essere entrambi 0.
Io so che una funzione è continua in un punto x0 se il limite della funzione in quel punto x0 è uguale al valore della funzione in quel punto(f(x0),che è poi la definizione scritta a parole.
Ed è derivabile se esiste ed è finito il limite di h che tende a 0 ecc...(anche qua per la definizione).
Come dico però dove una funzione è continua e derivabile?
Non credo che devo fare il limite per ogni punto per vedere se è continua.
$f(x) = xsqrt(2 - lnx)$
Il dominio è (0,e^2] e i limiti agli estremi dovrebbero essere entrambi 0.
Io so che una funzione è continua in un punto x0 se il limite della funzione in quel punto x0 è uguale al valore della funzione in quel punto(f(x0),che è poi la definizione scritta a parole.
Ed è derivabile se esiste ed è finito il limite di h che tende a 0 ecc...(anche qua per la definizione).
Come dico però dove una funzione è continua e derivabile?
Non credo che devo fare il limite per ogni punto per vedere se è continua.
Risposte
"Max.89":
Devo dire dove questa funzione è continua e dove è derivabile:
$f(x) = xsqrt(2 - lnx)$
Il dominio è (0,e^2] e i limiti agli estremi dovrebbero essere entrambi 0.
Io so che una funzione è continua in un punto x0 se il limite della funzione in quel punto x0 è uguale al valore della funzione in quel punto(f(x0),che è poi la definizione scritta a parole.
Ed è derivabile se esiste ed è finito il limite di h che tende a 0 ecc...(anche qua per la definizione).
Come dico però dove una funzione è continua e derivabile?
Non credo che devo fare il limite per ogni punto per vedere se è continua.
Per ogni punto intendi gli infiniti punti che formano l'intervallo $(0, e^2]$? Ovviamente no.
La tua funzione è continua in tutto l'intervallo su cui è definita. Sei d'accordo? (dai teoremi sulle funzioni continue)
Quindi si verifica una condizione necessaria per la derivabilità - nel senso che se è continua allora POTREBBE ESSERE derivabile. Lo bisogna verificare. Deriva la tua funzione e determina il dominio della derivata prima.
Beh il tuo dominio è $(o,e^2]$ quindi già sai che la funzione è continua in questo intervallo, perchè è evidente. Per vedere dove è derivabile, prova a fare la derivata prima, cioè $f'(x)=sqrt(2-lnx) - 1/(2sqrt(2-lnx)) => (2(2-lnx)-1)/(2sqrt(2-lnx))$
come puoi vedere questa funzione è definita nello stesso dominio di partenza escluso il secondo estremo, quindi è derivabile in $(0,e^2)$
Io di solito adotto sempre questo metodo
come puoi vedere questa funzione è definita nello stesso dominio di partenza escluso il secondo estremo, quindi è derivabile in $(0,e^2)$
Io di solito adotto sempre questo metodo
Aggiungo una cosa al discorso di Lorin. Se la derivata prima fosse definita anche nel punto $e^2$, avresti dovuto comunque escludere quell'estremo dell'intervallo. Capisci perché?
Quindi trovato il dominio so dai teoremi che è continua il quel dominio?
xSeneca
Credo che non devo considerare l'estremo perchè dovendo fare un limite in quel punto(dalla definizione di derivata) non posso fare il limite destro perchè è fuori dal dominio.
Però non ho capito la derivata come la hai trovata.
Io pensavo di usare la regola per derivare un prodotto di funzioni e per la radice facevo la regola della funzione di funzione.
xSeneca
Credo che non devo considerare l'estremo perchè dovendo fare un limite in quel punto(dalla definizione di derivata) non posso fare il limite destro perchè è fuori dal dominio.
Però non ho capito la derivata come la hai trovata.
Io pensavo di usare la regola per derivare un prodotto di funzioni e per la radice facevo la regola della funzione di funzione.
Si per la derivata quello è stata la tecnica, la derivata del prodotto di funzioni. Prova a farla anche tu
Si è vero ho provato a fare la derivata e ora mi viene.
Quindi ricapitolando:
-Trovo il dominio della funzione.
-Nel suo dominio è continua.
-Faccio la derivata e controllo che il suo dominio.
Ma in pratica il dominio della derivata mi dice dove la funzione è derivabile?
Quindi ricapitolando:
-Trovo il dominio della funzione.
-Nel suo dominio è continua.
-Faccio la derivata e controllo che il suo dominio.
Ma in pratica il dominio della derivata mi dice dove la funzione è derivabile?
"Seneca":
La tua funzione è continua in tutto l'intervallo su cui è definita. Sei d'accordo? (dai teoremi sulle funzioni continue)
"Lorin":
Beh il tuo dominio è $(o,e^2]$ quindi già sai che la funzione è continua in questo intervallo, perchè è evidente.
Scusate ragazzi se mi intrometto ma io userei maggiore precisione nel linguaggio. Infatti, queste espressioni hanno portato max alla conclusione
"max89":che è sbagliata. Per il solo fatto di essere definita in un punto, una funzione non ha alcun obbligo di essere continua nel punto stesso.
-Trovo il dominio della funzione.
-Nel suo dominio è continua.
Rimando max a questo collegamento:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#357546
nel quale si è parlato esattamente della stessa cosa.
Sì, hai ragione Dissonance. Infatti pensavo di aver risposto specificando che "dipende da come è fatta la funzione", ma evidentemente sono più smemorato di quanto credessi.
Immaginavo che non fosse così semplice...
Ma allora una volta trovato il dominio come vedo se è continua?
(Ho visto l'esempio del link di dissonance)
Ma allora una volta trovato il dominio come vedo se è continua?
(Ho visto l'esempio del link di dissonance)
Usi i teoremi su somme e prodotti di funzioni continue. La tua funzione è ottenuta sommando e moltiplicando funzioni continue in tutti i punti in cui sono definite, quindi essa è continua in ogni punto in cui è definita. La conclusione a cui eri giunto, quindi, è corretta, era il procedimento ad essere sbagliato.
Nota bene: lo stesso discorso continua a valere per stabilire i punti di derivabilità. Anche qui, somme e prodotti di funzioni derivabili sono derivabili. Nel tuo caso, c'è una funzione che presenta un punto di non derivabilità, nel senso che è definita in un punto ma non derivabile: la funzione radice quadrata, che non è derivabile da destra in $0$. Quindi puoi concludere subito che la funzione è derivabile ovunque definita tranne che in corrispondenza delle soluzioni dell'equazione
$2- logx=0$, ovvero per $x=e^2$, punto posto in un estremo dell'insieme di definizione.
Si tratta di capire se la funzione è derivabile da sinistra in $e^2$. Seneca ti ha indicato la via più comoda, usando implicitamente il Teorema di Darboux (clic) (nota: nel link si parla di derivabilità ma lo stesso teorema vale anche per derivate destre e sinistre con dei piccoli aggiustamenti). In alternativa potresti applicare direttamente la definizione, mostrando se esiste il limite da sinistra del rapporto incrementale. Quest'ultimo procedimento è più generale ma in generale richiede più calcoli.
Nota bene: lo stesso discorso continua a valere per stabilire i punti di derivabilità. Anche qui, somme e prodotti di funzioni derivabili sono derivabili. Nel tuo caso, c'è una funzione che presenta un punto di non derivabilità, nel senso che è definita in un punto ma non derivabile: la funzione radice quadrata, che non è derivabile da destra in $0$. Quindi puoi concludere subito che la funzione è derivabile ovunque definita tranne che in corrispondenza delle soluzioni dell'equazione
$2- logx=0$, ovvero per $x=e^2$, punto posto in un estremo dell'insieme di definizione.
Si tratta di capire se la funzione è derivabile da sinistra in $e^2$. Seneca ti ha indicato la via più comoda, usando implicitamente il Teorema di Darboux (clic) (nota: nel link si parla di derivabilità ma lo stesso teorema vale anche per derivate destre e sinistre con dei piccoli aggiustamenti). In alternativa potresti applicare direttamente la definizione, mostrando se esiste il limite da sinistra del rapporto incrementale. Quest'ultimo procedimento è più generale ma in generale richiede più calcoli.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo