Continuità e Derivabilità

[Hajra]

Dire se la funzione

[math]f(x) = x^2 -|x|[/math]

è continua e derivabile nel punto x=0.

Continuità:

[math]lim_{x\rightarrow0^+} x^2-|x| = 0[/math]

[math]lim_{x\rightarrow0^-} x^2-|x| = 0[/math]

[math]f(0) = 0^2 -|0| = 0[/math]

la funzione è continua al punto x=0.

Derivabilità:

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^2-|x+h|-x^2-|x|}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{(0+h)^2-|0+h|-0^2-|0|}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{(h)^2-|h|}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{(h)^2}{h}-\frac{|h|}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} h-\frac{|h|}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} 0-\frac{|0|}{0}[/math]

[math]\frac{0}{0}[/math]

è una forma indeterminata allora faccio con De l'Hopital

[math]lim_{h\rightarrow 0} 1-\frac{|1|}{1} = 0[/math]

Dato che il risultato è un valore finito allora possiamo dire che la funzione è derivabile nel punto x=0.

[ciampax]

Ancora? Lo vuoi capire che non puoi usare de l'Hopital per la derivabilità, visto che tra le ipotesi del teorema c'è proprio la derivabilità? Quando hai queste cose con il valore assoluto, devi separare i casi: quando

[math]h\to 0^+\ \Rightarrow |h|=h[/math]

mentre se

[math]h\to 0^-\ \Rightarrow\ |h|=-h[/math]

. Rifare!

[Hajra]

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^2-|x+h|-x^2-|x|}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{(0+h)^2-|0+h|-0^2-|0|}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{(h)^2-|h|}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} \frac{(h)^2}{h}-\frac{|h|}{h}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0} h-\frac{|h|}{h}[/math]

metto in sistema 2 condizioni:

[math]lim_{h\rightarrow 0^+}-\frac{h}{h}= -1\Leftrightarrow {h\rightarrow 0^+}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0^-}-\frac{-h}{h}= 1\Leftrightarrow {h\rightarrow 0^-}[/math]

[math]lim_{h\rightarrow 0^\pm}=\pm1[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

poi un'altra cosa (che non centra nnt con il parziale) come fai a mettere la parentesi graffa quando metti due equazioni in sistema ??????

[ciampax]

Hai quindi concluso che nel punto zero le derivate, destra e sinistra, valgono

[math]\pm 1[/math]

. Questo cosa vuol dire? La funzione è derivabile? Oppure no?

Per quanto riguarda le parentesi, il codice è il seguente

\left\{\begin{array}{lcr}
a^2+1 & b^2+1 & c^2+1\\ x^2-1 & y^2-1 & z^2-1
\end{array}\right.

che fa uscire una cosa del genere

[math]\left\{\begin{array}{lcr}
a^2+1 & b^2+1 & c^2+1\\ x^2-1 & y^2-1 & z^2-1
\end{array}\right.[/math]

Le lettere lcr dopo il comando array servono a dire in quale posizione devono essere allineate le colonne: l per left=sinistra, c per center=centro e r per right=destra. Le righe vanno separate dal comando \\ mentre le colonne dal comando &. Osserva che il \left per aprire la parentesi graffa, che va scritta con \{, viene chiuso dal \right seguito dal punto.