Continuità e derivabilità

[Hajar97]

Ciao ragazza mi potreste aiutare con questi due esercizi sulla derivabilità e continuità?
Il primo è questo: f(x)= $ x|x-5|$
A me come punti di continuità mi vengono x=0 e x=5 mentre per quanto riguarda i punti di derivabilità non ci sono x=0 e x= 5 sono due punti angolosi. Non so se abbia fatto giusto o no

Il secondo esercizio sarebbe questo: f(x)= $|x^3-2x^2+x| $
Qui non so come iniziare non so come mettere questa funzione nel sistema lineare.

Grazie mille in anticipo a ciunque risponda

[nick_10]

Beh la prima funzione è definita e continua ovunque. Per la derivabilità il problema è solo nel punto x=5, che studiandolo si verifica che è presente un punto angoloso.(limite derivata destra è uguale a 5, mentre il limite della derivata sinistra è uguale a -5)
La seconda potresti raccogliere la x all'interno del valore assoluto e procedere ricordando le proprieta che ha il valore assoluto

[Hajar97]

nick_10 grazie per aver risposto. Anch'io ho trovato che, per quanto riguarda la derivabilità, studiando il punto x=5 si verifica la presenza di un punto angoloso. La stessa cosa però l'ìho trovata nel punto x=0 ( limite derivata destra è uguale a 5 mentre limite derivata sinistra è uguale a -5)
$lim_(x->0+)(5x-x^2-0)/(x-0)$ = $lim_(x->0+)(5x-x^2)/(x)$ = $lim_(x->0+)(x(5-x))/(x)$ = 5
$lim_(x->0-)(-5x+x^2-0)/(x-0)$ = $lim_(x->0-)(-5x+x^2)/(x)$ = $lim_(x->0-)(x(x-5))/(x)$ = -5

[Magma1]

Ciao,

$ f(x)= x|x-5| ={ ( x(x-5)=x^2-5x if x>=5 ),( x(5-x)=5x-x^2 if x<5 ):}$

Inoltre, $AA x in RR-{5},$

$ f'(x)={ (2x-5 if x>5 ),( 5-2x if x<5 ):}$

$lim_(x->0) f'(x)=lim_(x->0) 5-2x =5$

Credo che tu abbia provato, invece, ad applicare il limite del rapporto incrementale

$lim_(h->0) (f(h+0)-f(0))/h=lim_(h->0) (h abs(h))/h=lim_(h->0) abs(h)=0$

[Hajar97]

Ciao Magma io ho fatto l'errore già all'inizio quando dovevo trovare i tratti per cui la funzione è definita. Ho prima moltiplicato e poi ho calcolato il segno per vedere quando la funzione è positiva e quando negativa

ossia
f(x)= x$|(x-5)|$ =
$(x^2-5x= x<0 , x>5)
(5x-x^2 = 0
Non so se mi hai capita

[Magma1]

Sì, ho capito; ma è sbagliato

Se provi a tracciare il grafico di $f(x)=xabs(x-5)$ e di $g(x)=abs(x^2-5x)$ noterai che sono diversi proprio per $x<0$, cioè hai impedito a $f(x)$ di essere negativo

[Hajar97]

Aaah capito grazie mille.. adesso correggo
Mentre per il secondo $|x^3-2x^2+x|$ coe diventa all'interno del sistema lineare? Il resto per trovare la continuità e derivabilità so come fare ma non so come metterlo nel sistema lineare

[Magma1]

Un sistema lineare è costituito da equazioni di rette...

Immagino tu intenda esplicitare il modulo, ragiona su come funziona:

$f(x)=abs(g(x))={ ( g(x) if g(x)>=0 ),( -g(x) if g(x)<0 ):}$

[@melia]

"Angels7":
Mentre per il secondo $|x^3-2x^2+x|$ coe diventa all'interno del sistema lineare? Il resto per trovare la continuità e derivabilità so come fare ma non so come metterlo nel sistema lineare

$|x^3-2x^2+x|= |x(x^2-2x+1)| = |x(x-1)^2| =|x|*(x-1)^2$ ovviamente il quadrato può essere portato fuori dal modulo perché è sempre positivo.
Adesso credo non avrai difficoltà e metterlo nel sistema lineare.

[Hajar97]

Grazie per la risposta...nel sistema lineare dunque metto
$(x^3-2x^2+x)$ per x>0
$(-x^3+2x^2-x)$ per x<0

[Magma1]

"Angels7":Grazie per la risposta...nel sistema lineare dunque metto
$(x^3-2x^2+x)$ per x>0
$(-x^3+2x^2-x)$ per x<0

Giusto!

[Hajar97]

Grazie Magma penso di aver capito. Oggi ho provato a svolgere esercizio: $|x-3|+x^2$
diventa : $(x-2+x^2 per x>3)$ e (-x+3+x^2 per x<3)$
Poi ho trovato il punto di continuità che è 3
Dopodichè ho trovato la derivabilità che mi viene 7 e 5 e dunque 3 è un punto angoloso..?

[Magma1]

"Angels7":Grazie Magma penso di aver capito. Oggi ho provato a svolgere esercizio: $|x-3|+x^2$
diventa : $(x-2+x^2 per x>3)$ e (-x+3+x^2 per x<3)$?

"Angels7":Poi ho trovato il punto di continuità che è 3?

In che senso?

"Angels7":Dopodichè ho trovato la derivabilità che mi viene 7 e 5 e dunque 3 è un punto angoloso..?

Esattamente

Per essere pignoli: $7$ e $5$ sono i valori del limite della derivata prima, rispettivamente destra e sinistra; dato che tali limiti non coincidono, si conclude che la funzione non è derivabile in $x_0=3$.