Continuità distanza
"DavideGenova, in questo thread, ":1q49an13:
Ciao, amici! So che, come si dimostra facilemente, dato uno spazio metrico \((X,d)\) la distanza da un punto fissato \(X\to \mathbb{R},x\mapsto d(x,x_0)\) è un'applicazione continua.
Mi chiedevo: anche la sua inversa è una funzione continua???
Risposte
In che senso l'inversa?
Infatti... Perché mai quella funzione lì dovrebbe essere invertibile?
Mi sono espresso molto male perché non ho specificato la situazione in cui mi trovo.
Ho una distanza misurata dall'origine $d(O,z)$ in cui $O =0$.
Definisco una funzione:
$s: [0,1) \rightarrow \mathbb{R^+}\cup{0}$
$z \mapsto s(z) := d(O,z)$
La $s$ così definita è una funzione continua.
Data la definizione della funzione e dalla forma del dominio e codominio, posso invertire tale funzione. Mi chiedevo se anche la sua inversa fosse continua (in realtà so già che è continua però vorrei capire perché, sicuramente è qualche motivo topologico che ora mi sfugge).
Ho una distanza misurata dall'origine $d(O,z)$ in cui $O =0$.
Definisco una funzione:
$s: [0,1) \rightarrow \mathbb{R^+}\cup{0}$
$z \mapsto s(z) := d(O,z)$
La $s$ così definita è una funzione continua.
Data la definizione della funzione e dalla forma del dominio e codominio, posso invertire tale funzione. Mi chiedevo se anche la sua inversa fosse continua (in realtà so già che è continua però vorrei capire perché, sicuramente è qualche motivo topologico che ora mi sfugge).
A me sembra che tu stia semplicemente scrivendo \(s(z)=|z|\) in modo inutilmente complicato.
"dissonance":
A me sembra che tu stia semplicemente scrivendo \(s(z)=|z|\) in modo inutilmente complicato.
Ma addirittura $s(z) = z$... Che è invertibile perché è l’identità.
Vi fornisco ulteriori informazioni sulla situazione in cui mi trovo.
Sia $D={z \in \mathbb{C} | |z|<1}$ dove con $|z|$ indico la norma euclidea.
Sto studiando geometria iperbolica e devo dimostrare il seguente teorema:
Una funzione distanza
$d: D \rightarrow \mathbb{R^+}\cup{0}$
$z \mapsto d(O,z)$
ben definita è della forma
$d(z)=K tanh^(-1)(|z|)$ per qualche $K>0$
La dimostrazione inizia facendo notare che basta dimostrare questo risultato per $z \in [0,1)$. Quindi definisce una funzione $s(z)=d(O,z)$ (con dominio $[0,1)$ e codominio $ \mathbb{R^+} \cup {0}$). Dopo qualche ragionamento considera la sua inversa e più avanti ancora utilizza la continuità dell'inversa. Io voglio sincerarmi del perché l'inversa sia continua.
Sia $D={z \in \mathbb{C} | |z|<1}$ dove con $|z|$ indico la norma euclidea.
Sto studiando geometria iperbolica e devo dimostrare il seguente teorema:
Una funzione distanza
$d: D \rightarrow \mathbb{R^+}\cup{0}$
$z \mapsto d(O,z)$
ben definita è della forma
$d(z)=K tanh^(-1)(|z|)$ per qualche $K>0$
La dimostrazione inizia facendo notare che basta dimostrare questo risultato per $z \in [0,1)$. Quindi definisce una funzione $s(z)=d(O,z)$ (con dominio $[0,1)$ e codominio $ \mathbb{R^+} \cup {0}$). Dopo qualche ragionamento considera la sua inversa e più avanti ancora utilizza la continuità dell'inversa. Io voglio sincerarmi del perché l'inversa sia continua.
tanh è una funzione continua e monotona crescente quindi crea una mappa biettiva ed esiste la sua inversa...e viceversa.
Se tieni di conto di questo fatto, la dimostrazione è immediata...
Se tieni di conto di questo fatto, la dimostrazione è immediata...
"Bokonon":
tanh è una funzione continua e monotona crescente quindi crea una mappa biettiva ed esiste la sua inversa...e viceversa.
Se tieni di conto di questo fatto, la dimostrazione è immediata...
Si, il punto chiave è "monotona crescente". In generale una funzione continua e invertibile non ha obbligo di avere inversa continua, ma in dimensione 1 una tale funzione è necessariamente monotona, e grazie a questo fatto essa ha inversa continua.
Io devo dimostrare che la $s(z)$ è proprio uguale a $K tanh^{-1}(z)$. Cioè attraverso la dimostrazione ricavo che $s(z)=K tanh^{-1}(z)$. Quello che mi interessa è sapere se una funzione come la ho definita nel messaggio precedente (so già che è continua) ha una inversa continua e perché è continua. Non posso ragionare direttamente con quello che voglio ottenere.
A me basta soltanto che la $s(z)$ sopra definita (con quelle ipotesi) sia biunivoca (magari per le proprietà della distanza e per come è fatto il dominio). Se vedo che è biunivoca allora posso concludere che ha una inversa continua.
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