Continuità di una funzione in un punto
Ciao a tutti
$\lim_{x \to \x0}f(x)=f(x0)$
In alcune definizioni trovo che il punto x0 a cui deve tendere il limite della funzione deve essere punto di accumulazione mentre in altre non veniva esplicitamente detto.
Volevo capire meglio eventualmente perché x0 deve essere un punto di accumulazione e nel caso un controesempio (es. se non è un punto di accumulazione non è continua perché..)
In una definizione ho poi trovato che se x0 è un punto isolato allora la funzione è sicuramente continua in quel punto. Visto che i punti isolati sono concettualmente l'opposto dei punti di accumulazione è sicura questa estensione della definizione?
Grazie a tutti
$\lim_{x \to \x0}f(x)=f(x0)$
In alcune definizioni trovo che il punto x0 a cui deve tendere il limite della funzione deve essere punto di accumulazione mentre in altre non veniva esplicitamente detto.
Volevo capire meglio eventualmente perché x0 deve essere un punto di accumulazione e nel caso un controesempio (es. se non è un punto di accumulazione non è continua perché..)
In una definizione ho poi trovato che se x0 è un punto isolato allora la funzione è sicuramente continua in quel punto. Visto che i punti isolati sono concettualmente l'opposto dei punti di accumulazione è sicura questa estensione della definizione?
Grazie a tutti
Risposte
Diciamola così (in senso informale) - sperando di non far casino, in tal caso invoco san gugo o san Rigel con misericordia 
- se un punto non è di accumulazione è un punto isolato: in quel caso non puoi proprio definire l'operazione di limite.
Se, infatti, fosse un punto isolato... come fai a tenderci?
- se un punto non è di accumulazione è un punto isolato: in quel caso non puoi proprio definire l'operazione di limite.Se, infatti, fosse un punto isolato... come fai a tenderci?
Nella definizione diciamo estesa viene detto che il punto x0 è continuo se:
x0 è un punto isolato OPPURE $ \lim_{x \to \x0}f(x)=f(x0) $
Quindi il limite avrebbe senso solamente per punti di accumulazione e quindi ometterlo è un errore, la definizione completa dovrebbe però includere anche i punti isolati e quindi la definizione estesa è quella più formalmente corretta?
x0 è un punto isolato OPPURE $ \lim_{x \to \x0}f(x)=f(x0) $
Quindi il limite avrebbe senso solamente per punti di accumulazione e quindi ometterlo è un errore, la definizione completa dovrebbe però includere anche i punti isolati e quindi la definizione estesa è quella più formalmente corretta?
la continuià è definita dalla definizione espressa con delta e epsilon per intenderci e non dipendeper forza dal limite
Ok spero di non dire boiate
Un punto isolato è continuo per definizione.
Mentre su un punto di accumulazione non si puo dire nulla a priori
Il limite è un operazione che ci dice come si comporta la funzione in un intorno del punto.
Quindi per un punto isolato non ci sono problemi per definizione, ma per un punto di accumulazione non possiamo dire a priori se in un intervallo sufficientemente piccolo del punto mi corrispondo immagini che sono compresi tra l immagine del punto di accumulazione e un epsilon .
Ok spero di non dire boiate
Un punto isolato è continuo per definizione.
Mentre su un punto di accumulazione non si puo dire nulla a priori
Il limite è un operazione che ci dice come si comporta la funzione in un intorno del punto.
Quindi per un punto isolato non ci sono problemi per definizione, ma per un punto di accumulazione non possiamo dire a priori se in un intervallo sufficientemente piccolo del punto mi corrispondo immagini che sono compresi tra l immagine del punto di accumulazione e un epsilon .
"Wormhole":
Un punto isolato è continuo per definizione.
M'ero dimenticato di scriverlo.
"Wormhole":
Il limite è un operazione che ci dice come si comporta la funzione in un intorno del punto.
In parole diverse è simile a quanto ho detto io.
Zero 87 si scusa non avevo proprio letto a dire la verità 
"Wormhole":
Zero 87 si scusa non avevo proprio letto a dire la verità
Mica l'ho detto per riproverarti (o cose simili)!
Anzi, l'hai spiegato meglio di come l'ho detto io.
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