Continuità di una funzione in due variabili
Buonasera, non sto capendo a pieno l'argomento della continuità di una funzione in due variabili. Ad esempio data la funzione
$g$ se ne calcoli la continuità:
$g(x,y)={((y^2-xarctany)/y,if y!=0),(0,if y=0):}$
Facendo il limite per $(x,y)->(0,0)$ si ottiene che $f(x,y)=0$ e dunque $f$ è continua in $(0,0)$.
Corretto fino a qui?
Ora però non mi è chiaro il procedimento utilizzato per mostrare che $g$ non è continua:
preso $(alpha+1/n,1/n)$ si ha che la successione tende a $alpha$ (ci sono fino a qui!) ma $g(alpha+1/n,1/n)$ tende a $-alpha$.
Con i calcoli ci sono ma perchè allora il docente scrive " abbiamo trovato una direzione che va verso $(alpha,0)$ con $alpha !=0$ ma il limite non è zero e dunque $g$ non è continua nei punti $(alpha,0)$ ".
Di definizione di continuità ne ho trovate altre e non capisco questa su cosa si basa...per essere continua in punti del tipo $(alpha,0)$ cosa sarebbe dovuto accadere usando questa successione? e perchè?
Grazie
$g$ se ne calcoli la continuità:
$g(x,y)={((y^2-xarctany)/y,if y!=0),(0,if y=0):}$
Facendo il limite per $(x,y)->(0,0)$ si ottiene che $f(x,y)=0$ e dunque $f$ è continua in $(0,0)$.
Corretto fino a qui?
Ora però non mi è chiaro il procedimento utilizzato per mostrare che $g$ non è continua:
preso $(alpha+1/n,1/n)$ si ha che la successione tende a $alpha$ (ci sono fino a qui!) ma $g(alpha+1/n,1/n)$ tende a $-alpha$.
Con i calcoli ci sono ma perchè allora il docente scrive " abbiamo trovato una direzione che va verso $(alpha,0)$ con $alpha !=0$ ma il limite non è zero e dunque $g$ non è continua nei punti $(alpha,0)$ ".
Di definizione di continuità ne ho trovate altre e non capisco questa su cosa si basa...per essere continua in punti del tipo $(alpha,0)$ cosa sarebbe dovuto accadere usando questa successione? e perchè?
Grazie
Risposte
E la terza discussione che apri sullo stesso identico problema in due giorni; hai intenzione di proseguire con questo ritmo finché non ti daranno la risposta che vuoi?
"axpgn":
E la terza discussione che apri sullo stesso identico problema in due giorni; hai intenzione di proseguire con questo ritmo finché non ti daranno la risposta che vuoi?
Prima avevi ragione! Ma è adesso è un argomento del tutto differente!
Nel post di prima si parlava di derivabilità qui vorrei capire la questione continuità delle funzioni in due variabili, argomento dove sto capendo davvero poco.
"Aletzunny":
Facendo il limite per $(x,y)->(0,0)$ si ottiene che $f(x,y)=0$ e dunque $f$ è continua in $(0,0)$.
Corretto fino a qui?
Chi è $f$? Non c'è nel tuo messaggio, forse è $g$ ed hai commesso un errore di battitura.
E come hai calcolato il limite? Potresti scrivere i passaggi, per favore?
"Aletzunny":
Ora però non mi è chiaro il procedimento utilizzato per mostrare che $g$ non è continua:
preso $(alpha+1/n,1/n)$ si ha che la successione tende a $alpha$ (ci sono fino a qui!)
Tende ad $(\alpha,0)$, non solo ad $\alpha$.
"Aletzunny":
ma $g(alpha+1/n,1/n)$ tende a $-alpha$.
Con i calcoli ci sono ma perchè allora il docente scrive " abbiamo trovato una direzione che va verso $(alpha,0)$ con $alpha !=0$ ma il limite non è zero e dunque $g$ non è continua nei punti $(alpha,0)$ ".
Di definizione di continuità ne ho trovate altre e non capisco questa su cosa si basa...
Ma in realtà è la più nota definizione di continuità, ossia
$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} h(x,y)=h(x_0,y_0)$$
Che è l'estensione in più variabili della classica
$$\lim_{x \to x_0} h(x)=h(x_0)$$
Quindi detto brutalmente il limite deve coincidere col valore della funzione nel punto, altrimenti niente continuità; quindi se ti è chiara la definizione che ho riportato dovresti tranquillamente arrivare a capire cosa sta succedendo.
"Aletzunny":
per essere continua in punti del tipo $(alpha,0)$ cosa sarebbe dovuto accadere usando questa successione? e perchè?
Comunque, se posso darti un consiglio (anche relativo agli altri post sulla derivabilità), sembra che tu abbia un po' di lacune di teoria anche in una variabile. Queste sono estensioni che si approcciano bene se uno ha fissato bene ciò che succede in una variabile, quindi forse è meglio rivedere quelle cose prima.
Si la funzione è $g$.
Scrivo tutti i passaggi che sono stati fatti nella lezione online (purtroppo registrata):
se $(x,y)->(0,0)$ allora $g(x,y)=y-x*((arctan(y))/y)$ $=0-0*1=0$
Dunque $g$ è continua in $(0,0)$ perchè il limite di $g(x,y)=g(0,0)$.
Oppure sono fuori strada?
Poi l'esercizio continua:
innanzitutto perchè si considerano i punti del tipo $(alpha,0)$ ? (perchè $y=0$ è dove "cambia" l'espressione della funzione?)
presa la successione $x_n=(alpha+1/n,1/n)$ utilizzando la norma 2 $||*||_2$ si ha che $||x_n||_2=sqrt((alpha)^2+2alpha*1/n+2/n^2)$ che tende ad $alpha$ se $n->+infty$
(onestamente io avrei messo che tende a $|alpha|$) però non so come mai qui si usi $alpha$).
$g(x_n)=1/n-(alpha+1/n)*(arctan(1/n))/(1/n)$ $=0-alpha*1=-alpha$ per $n->+infty$
e sotto viene riportato:
$[$ abbiamo trovato una direzione che va verso $(alpha,0)$ ma il limite non è $0$ ma $-alpha$. Dunque $g$ non è continua nei punti $(alpha,0)$ con $alpha != 0$ $]$
Dunque qui non capisco la questione della continuità: dalla teoria sulle funzioni continue (fatta al liceo e ad analisi 1 ) ho sempre usato la definizione da te scritta per $h(x)$.
Qui non riesco a comprendere cosa sarebbe dovuto accadere per dire che $g$ era continua in $(alpha,0)$.
Probabilmente sbagliando pensavo che fosse continua in $(alpha,0)$ se sia $x_n$ sia $g(x_n)$ tendessero ad $alpha$.
Scrivo tutti i passaggi che sono stati fatti nella lezione online (purtroppo registrata):
se $(x,y)->(0,0)$ allora $g(x,y)=y-x*((arctan(y))/y)$ $=0-0*1=0$
Dunque $g$ è continua in $(0,0)$ perchè il limite di $g(x,y)=g(0,0)$.
Oppure sono fuori strada?
Poi l'esercizio continua:
innanzitutto perchè si considerano i punti del tipo $(alpha,0)$ ? (perchè $y=0$ è dove "cambia" l'espressione della funzione?)
presa la successione $x_n=(alpha+1/n,1/n)$ utilizzando la norma 2 $||*||_2$ si ha che $||x_n||_2=sqrt((alpha)^2+2alpha*1/n+2/n^2)$ che tende ad $alpha$ se $n->+infty$
(onestamente io avrei messo che tende a $|alpha|$) però non so come mai qui si usi $alpha$).
$g(x_n)=1/n-(alpha+1/n)*(arctan(1/n))/(1/n)$ $=0-alpha*1=-alpha$ per $n->+infty$
e sotto viene riportato:
$[$ abbiamo trovato una direzione che va verso $(alpha,0)$ ma il limite non è $0$ ma $-alpha$. Dunque $g$ non è continua nei punti $(alpha,0)$ con $alpha != 0$ $]$
Dunque qui non capisco la questione della continuità: dalla teoria sulle funzioni continue (fatta al liceo e ad analisi 1 ) ho sempre usato la definizione da te scritta per $h(x)$.
Qui non riesco a comprendere cosa sarebbe dovuto accadere per dire che $g$ era continua in $(alpha,0)$.
Probabilmente sbagliando pensavo che fosse continua in $(alpha,0)$ se sia $x_n$ sia $g(x_n)$ tendessero ad $alpha$.
Ok, andava specificato l'uso della $\norm{\cdot}_2$.
Comunque vediamo di arrivarci insieme. Studiami preliminarmente la continuità in $x=0$ di
$$f(x)=\begin{cases} \
\frac{|x|}{x}, \text{se} \ x \ne 0 \\
1, \text{se} \ x =0
\end{cases}$$
Comunque vediamo di arrivarci insieme. Studiami preliminarmente la continuità in $x=0$ di
$$f(x)=\begin{cases} \
\frac{|x|}{x}, \text{se} \ x \ne 0 \\
1, \text{se} \ x =0
\end{cases}$$
spero di non sbagliare:
$f(0)=1$
$lim_(x->0^+)f(x)=x/x=1$
$lim_(x->0^-)f(x)=-x/x=-1$
dunque $f$ per me non è continua in 0
$f(0)=1$
$lim_(x->0^+)f(x)=x/x=1$
$lim_(x->0^-)f(x)=-x/x=-1$
dunque $f$ per me non è continua in 0
"Mephlip":
Ok, andava specificato l'uso della $\norm{\cdot}_2$.
Comunque vediamo di arrivarci insieme. Studiami preliminarmente la continuità in $x=0$ di
$$f(x)=\begin{cases} \
\frac{|x|}{x}, \text{se} \ x \ne 0 \\
1, \text{se} \ x =0
\end{cases}$$
ma nell'uso della $||*||_2$ perchè non sarebbe $|alpha|$ invece che $alpha$ come riportato?
Ecco, appunto. È giusto, ma mi spieghi allora perché qui ti preoccupi della direzione (andare a $0$ da destra o da sinistra) mentre in più variabili no? Sta facendo la stessa cosa, solo che in $\mathbb{R}^2$ non esiste una sola direzione (ossia quella dell'asse reale) ma ne esistono infinite lungo le quali giungere al punto $(\alpha,0)$.
Dunque, per mostrare che la funzione non è continua basta esibirne una lungo la quale il limite non coincide con il valore nel punto; il docente ha scelto, arbitrariamente, la direzione $\left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$.
Infatti per essa succede che se $\alpha \ne 0$ si ha
$$g\left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=0 \ne \lim_{n \to \infty} g \left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=-\alpha$$
Chiaro ora?
Dunque, per mostrare che la funzione non è continua basta esibirne una lungo la quale il limite non coincide con il valore nel punto; il docente ha scelto, arbitrariamente, la direzione $\left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$.
Infatti per essa succede che se $\alpha \ne 0$ si ha
$$g\left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=0 \ne \lim_{n \to \infty} g \left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=-\alpha$$
Chiaro ora?
"Aletzunny":
ma nell'uso della $||*||_2$ perchè non sarebbe $|alpha|$ invece che $alpha$ come riportato?
Ah boh, forse ha supposto $\alpha>0$ oppure non gli interessa il segno di $\alpha$ perché che esso sia positivo o negativo comunque non è nullo; di certo se non ha fatto ipotesi è un'imprecisione, quindi secondo me il tuo dubbio è sensato.
"Mephlip":
Ecco, appunto. È giusto, ma mi spieghi allora perché qui ti preoccupi della direzione (andare a $0$ da destra o da sinistra) mentre in più variabili no? Sta facendo la stessa cosa, solo che in $\mathbb{R}^2$ non esiste una sola direzione (ossia quella dell'asse reale) ma ne esistono infinite lungo le quali giungere al punto $(0,0)$.
Dunque, per mostrare che la funzione non è continua basta esibirne una lungo la quale il limite non coincide con il valore nel punto; il docente ha scelto, arbitrariamente, la direzione $\left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$.
Infatti per essa succede che se $\alpha \ne 0$ si ha
$$g\left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=0 \ne \lim_{n \to \infty} g \left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=-\alpha$$
Chiaro ora?
ho capito il ragionamento ma non mi è chiara una cosa:
$g(alpha+1/n,1/n)=0$ da dove si deduce?
"Mephlip":
[quote="Aletzunny"]
ma nell'uso della $||*||_2$ perchè non sarebbe $|alpha|$ invece che $alpha$ come riportato?
Ah boh, forse ha supposto $\alpha>0$ oppure non gli interessa il segno di $\alpha$ perché che esso sia positivo o negativo comunque non è nullo; di certo se non ha fatto ipotesi è un'imprecisione, quindi secondo me il tuo dubbio è sensato.[/quote]
ottimo! grazie
"Mephlip":
Ecco, appunto. È giusto, ma mi spieghi allora perché qui ti preoccupi della direzione (andare a $0$ da destra o da sinistra) mentre in più variabili no? Sta facendo la stessa cosa, solo che in $\mathbb{R}^2$ non esiste una sola direzione (ossia quella dell'asse reale) ma ne esistono infinite lungo le quali giungere al punto $(0,0)$.
Dunque, per mostrare che la funzione non è continua basta esibirne una lungo la quale il limite non coincide con il valore nel punto; il docente ha scelto, arbitrariamente, la direzione $\left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$.
Infatti per essa succede che se $\alpha \ne 0$ si ha
$$g\left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=0 \ne \lim_{n \to \infty} g \left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=-\alpha$$
Chiaro ora?
infine, scusa ancora, la scelta di $(alpha,0)$ da cosa dipende? cioè perchè si sceglie un punto cosi?
per il fatto che $y=0$?
No scusa, ho sbagliato a scrivere. Al membro di sinistra è $g(\alpha,0)$, non $g\left(\alpha +\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$.
La funzione si dirama in $y=0$ per come è definita, ha scelto tutti i punti aventi la $y$ nulla e una generica coordinata $x$ che chiama $\alpha$; è come se si stesse restringendo lungo l'asse $x$.
Il perché della scelta lo vedi un po' con l'esperienza, tipicamente le direzioni più semplici sono o le restrizioni agli assi, o lungo la bisettrice, o lungo un generico fascio di rette.
La funzione si dirama in $y=0$ per come è definita, ha scelto tutti i punti aventi la $y$ nulla e una generica coordinata $x$ che chiama $\alpha$; è come se si stesse restringendo lungo l'asse $x$.
Il perché della scelta lo vedi un po' con l'esperienza, tipicamente le direzioni più semplici sono o le restrizioni agli assi, o lungo la bisettrice, o lungo un generico fascio di rette.
"Mephlip":
No scusa, ho sbagliato a scrivere. Al membro di sinistra è $g(\alpha,0)$, non $g\left(\alpha +\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$.
La funzione si dirama in $y=0$ per come è definita, ha scelto tutti i punti aventi la $y$ nulla e una generica coordinata $x$ che chiama $\alpha$; è come se si stesse restringendo lungo l'asse $x$.
Il perché della scelta lo vedi un po' con l'esperienza, tipicamente le direzioni più semplici sono o le restrizioni agli assi, o lungo la bisettrice, o lungo un generico fascio di rette.
provo a vedere se ho capito:
si è trovata una direzione tale che la successione $(alpha+1/n,1/n)$ tende a $|alpha|$ ma la funzione $g$ valuta in $(alpha,0)$ è $=0$ poichè $y=0$ mentre il limite per $n->+infty$ $g(x_n)$ è $alpha$ diverso da $0$ e dunque $g$ non è continua.
"Mephlip":
Ecco, appunto. È giusto, ma mi spieghi allora perché qui ti preoccupi della direzione (andare a $0$ da destra o da sinistra) mentre in più variabili no? Sta facendo la stessa cosa, solo che in $\mathbb{R}^2$ non esiste una sola direzione (ossia quella dell'asse reale) ma ne esistono infinite lungo le quali giungere al punto $(\alpha,0)$.
Dunque, per mostrare che la funzione non è continua basta esibirne una lungo la quale il limite non coincide con il valore nel punto; il docente ha scelto, arbitrariamente, la direzione $\left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$.
Infatti per essa succede che se $\alpha \ne 0$ si ha
$$g\left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=0 \ne \lim_{n \to \infty} g \left(\alpha+\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=-\alpha$$
Chiaro ora?
Ragionandoci bene un'oretta ho capito davvero questa questione! Grazie per l'aiuto!
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