Continuità di una funzione in (0,0) e derivate direzionale

[75america]

Ragazzi ho un problema(anzi direi problemone...) Vi do la funzione di un compito di analisi II risolta dalla prof, ma che nn ci ho capito niente
Ho la seguente funzione $log(1+xy)/[sqrt(x^2+y^2)] {(x,y if(x,y)!=(0,0)),(0,if(x,y)=(0,0)}$
-Insieme di definizione: definita in $A={(x,y) € R^2: xy> -1}$
-Continuità: la funzione è continua nei punti distinti dall'origine.
Inoltre $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}log(1+xy)/[sqrt (x^2+y^2)]= \lim_{(x,y) \to \(0,0)}log(1+xy)/[xy] (xy)/[sqrt (x^2+y^2)]=0$
essendo $ |xy|/[sqrt (x^2+y^2)] <= 1/2 (x^2+y^2)/[sqrt (x^2+y^2)] = 1/2 sqrt (x^2+y^2)$
e tenendo presente che $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} sqrt(x^2+y^2)=0$
Quindi f è continua in tutto A.
Ma scusate ma non aveva detto all'inizio che la funzione è continua nei punti distinti dall'origine(quindi in (0,0) non era continua, anche se a me sembra che la funzione è continua in (0,0) perchè se faccio il limite mi vine $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}log 1/0$ quindi 0 perchè log 1 è 0.
Fatemi capire....
Inoltre dice poichè f si annulla lungo gli assi si deduce che esiste il gradiente di fin (0,0) e risulta $Vf(0,0)=(0,0)$. Come l'ha fatto a dedurre così?
Ma per trovare il gradiente io devo fare le drivate parziali in (0,0) e c'è un modo per trovare le derivate parziali senza dover usare la definizione generale di limite (è un pò difficile)
Ragazzi aiutatemi vi prego tra un mese ho l'esame e nn so fare un tubo

[dissonance]

Le disuguaglianze che ti servono le impari con la pratica. Non ti sto a fare un elenco perché diventerebbe noiosissimo da imparare a memoria e poi nel concreto diventa difficile vedere quale disuguaglianza applicare. Per il momento abbiamo visto che da $(x^2-y^2)>=0$ salta fuori una disuguaglianza utile. Facendo esercizi ne salteranno fuori altre.