Continuità di una funzione in (0,0) e derivate direzionale
Ragazzi ho un problema(anzi direi problemone...) Vi do la funzione di un compito di analisi II risolta dalla prof, ma che nn ci ho capito niente
Ho la seguente funzione $log(1+xy)/[sqrt(x^2+y^2)] {(x,y if(x,y)!=(0,0)),(0,if(x,y)=(0,0)}$
-Insieme di definizione: definita in $A={(x,y) € R^2: xy> -1}$
-Continuità: la funzione è continua nei punti distinti dall'origine.
Inoltre $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}log(1+xy)/[sqrt (x^2+y^2)]= \lim_{(x,y) \to \(0,0)}log(1+xy)/[xy] (xy)/[sqrt (x^2+y^2)]=0$
essendo $ |xy|/[sqrt (x^2+y^2)] <= 1/2 (x^2+y^2)/[sqrt (x^2+y^2)] = 1/2 sqrt (x^2+y^2)$
e tenendo presente che $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} sqrt(x^2+y^2)=0$
Quindi f è continua in tutto A.
Ma scusate ma non aveva detto all'inizio che la funzione è continua nei punti distinti dall'origine(quindi in (0,0) non era continua, anche se a me sembra che la funzione è continua in (0,0) perchè se faccio il limite mi vine $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}log 1/0$ quindi 0 perchè log 1 è 0.
Fatemi capire....
Inoltre dice poichè f si annulla lungo gli assi si deduce che esiste il gradiente di fin (0,0) e risulta $Vf(0,0)=(0,0)$. Come l'ha fatto a dedurre così?
Ma per trovare il gradiente io devo fare le drivate parziali in (0,0) e c'è un modo per trovare le derivate parziali senza dover usare la definizione generale di limite (è un pò difficile)
Ragazzi aiutatemi vi prego tra un mese ho l'esame e nn so fare un tubo
Ho la seguente funzione $log(1+xy)/[sqrt(x^2+y^2)] {(x,y if(x,y)!=(0,0)),(0,if(x,y)=(0,0)}$
-Insieme di definizione: definita in $A={(x,y) € R^2: xy> -1}$
-Continuità: la funzione è continua nei punti distinti dall'origine.
Inoltre $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}log(1+xy)/[sqrt (x^2+y^2)]= \lim_{(x,y) \to \(0,0)}log(1+xy)/[xy] (xy)/[sqrt (x^2+y^2)]=0$
essendo $ |xy|/[sqrt (x^2+y^2)] <= 1/2 (x^2+y^2)/[sqrt (x^2+y^2)] = 1/2 sqrt (x^2+y^2)$
e tenendo presente che $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} sqrt(x^2+y^2)=0$
Quindi f è continua in tutto A.
Ma scusate ma non aveva detto all'inizio che la funzione è continua nei punti distinti dall'origine(quindi in (0,0) non era continua, anche se a me sembra che la funzione è continua in (0,0) perchè se faccio il limite mi vine $\lim_{(x,y) \to \(0,0)}log 1/0$ quindi 0 perchè log 1 è 0.
Fatemi capire....
Inoltre dice poichè f si annulla lungo gli assi si deduce che esiste il gradiente di fin (0,0) e risulta $Vf(0,0)=(0,0)$. Come l'ha fatto a dedurre così?
Ma per trovare il gradiente io devo fare le drivate parziali in (0,0) e c'è un modo per trovare le derivate parziali senza dover usare la definizione generale di limite (è un pò difficile)
Ragazzi aiutatemi vi prego tra un mese ho l'esame e nn so fare un tubo
Risposte
La frase ‘la funzione è continua nei punti distinti dall'origine.’ non voleva significare che nell'origine non è continua, ma che non poteva ancora affermarlo. Mentre al di fuori dell'origine la continuità era garantita dal fatto che è composizione di funzioni continue. Dopo questa affermazione il tuo professore ha cercato quindi di verificare se la funzione è continua nell'origine utilizzando la definizione di continuità (quella utilizzando i limiti). $\frac{0}{0}$ è una forma indeterminata e quindi sono necessari i passaggi del tuo professore (o altri analoghi) per dimostrare che quel limite vale 0.
La funzione è costante sugli assi e quindi la derivata in quelle direzioni (le derivate parziali) sono nulle e quindi il gradiente deve essere (0,0). Le derivate parziali si calcolano normalmente considerando come costanti tutte le altre variabili e derivando come se fosse una funzione ad una variabile. In questo caso però è più comoda la definizione.
La funzione è costante sugli assi e quindi la derivata in quelle direzioni (le derivate parziali) sono nulle e quindi il gradiente deve essere (0,0). Le derivate parziali si calcolano normalmente considerando come costanti tutte le altre variabili e derivando come se fosse una funzione ad una variabile. In questo caso però è più comoda la definizione.
grazie per le informazioni pure io avevo l'impressione solo che sai vedere le cose di un prof nn come stregonerie è un pò difficile, allora la funzione è costante sugli assi significa che andando a sostituire i termini della funzione una volta con x=0 e y=0 mi vine ea entrambe 0 perchè il log di 1 vale 0 è così che l'hai dedotto?
Poi volevo domandarti un'altra cosa però è sulla derivata direzionale: ti posto l'esercizio:
In (0,0) f è dotata di derivata direzionale secondo una qualunque direzione?
Ti posto come ha risolto la prof:
Sia $\lambda(alpha,beta)$ una direzione diversa da (1,0) e (0,1) (Ma perchè deve scegliere delle direzioni diverse da queste che cose succede in quei punti?)
Essendo
$f(talpha,tbeta)/t= [log(1+t^2alphabeta)]/tsqrt(t^2alpha^2+t^2beta^2)=[log(1+t^2alphabeta)]/(t|t|)=$vengono due sol. $[log(1+t^2alphabeta)]/t^2 if t>0 -[log(1+t^2alphabeta)]/t^2 if t<0$
si ha $lim_(t->0) f(talpha,tbeta)/t= if alphabeta t>0 -alphabeta if t<0$ (da quale limite notevole gli è uscita sta soluzione, io so $lim_(x->0) [log(1+x)]/x=1$ ma nn credo sia quello, dimmi secondo te da quale limite viene fuori
Poi la prof dice che quindi non esiste la derivata direzionale in (0,0) secondo la direzione $lambda$, ma come ha fatto a dire questo?
Spero mi aiuterai
Ti ringrazio Ciao
Poi volevo domandarti un'altra cosa però è sulla derivata direzionale: ti posto l'esercizio:
In (0,0) f è dotata di derivata direzionale secondo una qualunque direzione?
Ti posto come ha risolto la prof:
Sia $\lambda(alpha,beta)$ una direzione diversa da (1,0) e (0,1) (Ma perchè deve scegliere delle direzioni diverse da queste che cose succede in quei punti?)
Essendo
$f(talpha,tbeta)/t= [log(1+t^2alphabeta)]/tsqrt(t^2alpha^2+t^2beta^2)=[log(1+t^2alphabeta)]/(t|t|)=$vengono due sol. $[log(1+t^2alphabeta)]/t^2 if t>0 -[log(1+t^2alphabeta)]/t^2 if t<0$
si ha $lim_(t->0) f(talpha,tbeta)/t= if alphabeta t>0 -alphabeta if t<0$ (da quale limite notevole gli è uscita sta soluzione, io so $lim_(x->0) [log(1+x)]/x=1$ ma nn credo sia quello, dimmi secondo te da quale limite viene fuori
Poi la prof dice che quindi non esiste la derivata direzionale in (0,0) secondo la direzione $lambda$, ma come ha fatto a dire questo?
Spero mi aiuterai
Ti ringrazio Ciao
allora nella prima parte quando studio la continuità della funzione e la prof usa quel limite notevole e dice essendo $|xy|/sqrt(x^2+y^2) <= 1/2 (x^2+y^2)/[sqrt(x^2+y^2)]= 1/2 sqrt(x^2+y^2)$, ma secondo lei come le è venuto in mente questo artificio da dv l'ha preso?
nn ci capisco niente
nn ci capisco niente
nn ci capisco niente.....
beh vabbé però devi avere un po' di pazienza eh... non è che per forza ti aspetti le risposte nel giro di un'ora.
Comunque, lì sta usando una disuguaglianza che tu conosci benissimo: $(x-y)^2>=0$. Svolgi un po' i calcoli e vedi che cosa salta fuori.
Comunque, lì sta usando una disuguaglianza che tu conosci benissimo: $(x-y)^2>=0$. Svolgi un po' i calcoli e vedi che cosa salta fuori.
[mod="Fioravante Patrone"]Vedo un altro "up" dopo solo due ore.
Male, chiudo per 24 ore.[/mod]
Male, chiudo per 24 ore.[/mod]
perkè la prof quando trova la derivata direzionale dice:$\lambda(alpha,beta)$ una direzione diversa da $(1,0) e (0,1)$ (Ma perchè deve scegliere delle direzioni diverse da queste che cose succede in quei punti?)
E poi mi potreste spiegare praticamente cosa s'intende per derivata direzionale, cioè rispetto a una figura cos'è?
Grazie a tutti
E poi mi potreste spiegare praticamente cosa s'intende per derivata direzionale, cioè rispetto a una figura cos'è?
Grazie a tutti
La derivata direzionale può essere interpretata come la variazione della funzione lungo la direzione scelta in un intorno del punto in cui è calcolata.
"75america":Ovviamente puoi fare la derivata direzionale anche rispetto ai versori degli assi.
perkè la prof quando trova la derivata direzionale dice:$\lambda(alpha,beta)$ una direzione diversa da $(1,0) e (0,1)$ (Ma perchè deve scegliere delle direzioni diverse da queste che cose succede in quei punti?)
Penso semplicemente che volesse considerare derivate direzionali che non coincidano con le derivate parziali (che sono, per l'appunto, derivati direzionali fatte prendendo come "direzioni" i versori (1,0) e (0,1)).
che regola ha usato per risolvere quel limite:
cioè $|xy|/sqrt(x^2+y^2)<=1/2(x^2+y^2)/(sqrt(x^2+y^2))=1/2 sqrt(x^2+y^2)$,cioè per risolvre questo limite
$|xy|/sqrt(x^2+y^2)$ nn sono riuscito a trovare nulla non posso usare che$(x^2+y^2)$ è una potenza con esp negativo , perkè il lim non tendea $+infty$
datemi una dritta....grazie
cioè $|xy|/sqrt(x^2+y^2)<=1/2(x^2+y^2)/(sqrt(x^2+y^2))=1/2 sqrt(x^2+y^2)$,cioè per risolvre questo limite
$|xy|/sqrt(x^2+y^2)$ nn sono riuscito a trovare nulla non posso usare che$(x^2+y^2)$ è una potenza con esp negativo , perkè il lim non tendea $+infty$
datemi una dritta....grazie
Rileggi i post precedenti: a questa domanda era già arrivata una risposta. Comunque entro più nel dettaglio:
consideriamo $(x-y)^2$. Come sappiamo, $(x-y)^2>=0$. Svolgiamo i calcoli: $x^2+y^2-2xy>=0$. Perciò $2xy<=x^2+y^2$, quindi $xy<=1/2(x^2+y^2)$.
[edit] mi ero scordato l'$1/2$ nella formula.
[riedit] corretto un pastrocchio coi valori assoluti.
[ri-riedit] see, buonasera... C'era un altro errore ancora. Oggi non è proprio giornata
consideriamo $(x-y)^2$. Come sappiamo, $(x-y)^2>=0$. Svolgiamo i calcoli: $x^2+y^2-2xy>=0$. Perciò $2xy<=x^2+y^2$, quindi $xy<=1/2(x^2+y^2)$.
[edit] mi ero scordato l'$1/2$ nella formula.
[riedit] corretto un pastrocchio coi valori assoluti.
[ri-riedit] see, buonasera... C'era un altro errore ancora. Oggi non è proprio giornata
c'è un altro modo per risolvere sto limite:
allora
$lim_[(x,y)->(0,0)] log(1+xy)/(sqrt(x^2+y^2))=lim_((x,y)->(0,0)) log(1+xy)/(xy) * (xy)/(sqrt(x^2+y^2))=0
allora $log(1+xy)/(xy)$ tende a 1 per il limite notevole, ma la seconda parte come me la calcolo?
E' la stessa cosa di $lim_(x->0) log(1+2x)/log(1+x)$ che verrebbe $log(1+2x)/(2x) * (2x)/(log(1+x)$
$log(1+2x)/(2x)$ viene 2 ma la seconda parte?
Ragazzi spero in una vostra risposta.Grazie a todos
allora
$lim_[(x,y)->(0,0)] log(1+xy)/(sqrt(x^2+y^2))=lim_((x,y)->(0,0)) log(1+xy)/(xy) * (xy)/(sqrt(x^2+y^2))=0
allora $log(1+xy)/(xy)$ tende a 1 per il limite notevole, ma la seconda parte come me la calcolo?
E' la stessa cosa di $lim_(x->0) log(1+2x)/log(1+x)$ che verrebbe $log(1+2x)/(2x) * (2x)/(log(1+x)$
$log(1+2x)/(2x)$ viene 2 ma la seconda parte?
Ragazzi spero in una vostra risposta.Grazie a todos
Mi hai fatto venire dei dubbi anche a me con questo limite!
Non so se sia corretto ma io ho ragionato così!
passo in coordinate polari il tutto quindi avrei $x = \rho*cos\theta$ e $y = \rho*sin\theta$
quindi ora il limite diventa $lim_(\rho -> 0^+) log(1 + \rho^2*cos\theta*sin\theta)/sqrt(\rho^2(cos^2\theta + sin^2\theta))$ a denominatore $cos^2\theta + sin^2\theta = 1$, a nominatore $log(1 + \rho^2*cos\theta*sin\theta) \sim \rho^2*cos\theta*sin\theta$ quindi il limite si dovrebbe ridurre nella forma
$lim_(\rho-> 0^+) (\rho^2*cos\theta*sin\theta)/\rho$ e semplificando $lim_(\rho-> 0^+) \rho*cos\theta*sin\theta$ che tende a zero per ogni $\theta$ quindi il risultato dovrebbe essere $0$
E' giusto???
Non so se sia corretto ma io ho ragionato così!
passo in coordinate polari il tutto quindi avrei $x = \rho*cos\theta$ e $y = \rho*sin\theta$
quindi ora il limite diventa $lim_(\rho -> 0^+) log(1 + \rho^2*cos\theta*sin\theta)/sqrt(\rho^2(cos^2\theta + sin^2\theta))$ a denominatore $cos^2\theta + sin^2\theta = 1$, a nominatore $log(1 + \rho^2*cos\theta*sin\theta) \sim \rho^2*cos\theta*sin\theta$ quindi il limite si dovrebbe ridurre nella forma
$lim_(\rho-> 0^+) (\rho^2*cos\theta*sin\theta)/\rho$ e semplificando $lim_(\rho-> 0^+) \rho*cos\theta*sin\theta$ che tende a zero per ogni $\theta$ quindi il risultato dovrebbe essere $0$
E' giusto???
@ clockover: secondo me è giusto. Anche io avrei fatto così.
Comunque (@75america) una volta che sei arrivato a calcolare il limite di $(xy)/sqrt(x^2+y^2)$ puoi usare la disuguaglianza che dicevo prima (a proposito, riguarda il mio post precedente perché c'era un errore) per concludere che il limite è zero. Infatti, per prima cosa metti tutto in valore assoluto. Allora hai che $0<=(|xy|)/sqrt(x^2+y^2)<=1/2(x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2)=1/2sqrt(x^2+y^2)$ e a questo punto applichi il teorema dei carabinieri.
Comunque (@75america) una volta che sei arrivato a calcolare il limite di $(xy)/sqrt(x^2+y^2)$ puoi usare la disuguaglianza che dicevo prima (a proposito, riguarda il mio post precedente perché c'era un errore) per concludere che il limite è zero. Infatti, per prima cosa metti tutto in valore assoluto. Allora hai che $0<=(|xy|)/sqrt(x^2+y^2)<=1/2(x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2)=1/2sqrt(x^2+y^2)$ e a questo punto applichi il teorema dei carabinieri.
grazie per l'aiuto comunque
voglio capì due cose allora:
come hai preso in considerazione $(x-y)^2$? e poi all'ulitmo quando dico $1/2 (x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2)=1/2sqrt(x^2+y^2)$, gli altri passaggi sono semplici grazie a te li ho capiti
Ma aldilà di questa disuguaglianza si riesce a calcolare il limite in un altro modo o è troppo complicato(I limiti di funzioni in due variabili spesso non esistono..)?
Raga scusate ma $lim_(x->0)(sen^2x)/(1-cosx)$ come si calcola, io ho provato a divide num e deno per x ma il limite di $(sen^2x)/x$ non esiste, esiste solo quello $(1-cosx)/x$. Mi date una mano, per piacere.
voglio capì due cose allora:
come hai preso in considerazione $(x-y)^2$? e poi all'ulitmo quando dico $1/2 (x^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2)=1/2sqrt(x^2+y^2)$, gli altri passaggi sono semplici grazie a te li ho capiti
Ma aldilà di questa disuguaglianza si riesce a calcolare il limite in un altro modo o è troppo complicato(I limiti di funzioni in due variabili spesso non esistono..)?
Raga scusate ma $lim_(x->0)(sen^2x)/(1-cosx)$ come si calcola, io ho provato a divide num e deno per x ma il limite di $(sen^2x)/x$ non esiste, esiste solo quello $(1-cosx)/x$. Mi date una mano, per piacere.
$sin^2x \sim x^2$ trascurando gli altri termini dunque guarda caso ti ricondurresti alla forma $x^2/(1 - cosx) = 1/((1-cosx)/x^2)$ che dovrebbe essere $2$ (per il limite notevole $(1 - cosx)/x^2 = 1/2$ per $x->0$)
però da dove è uscita $sen^2x=x^2$ mica hai fatto cambio di variabile?
Per lo sviluppo di McLaurin $sinx \sim x$, avendo $sin^2x$ dovremmo fare il doppio prodotto relativo allo sviluppo di $sinx$! Siccome possiamo fermarci al primo termine il doppio prodotto si ferma a $x^2$
$sinx \sim x - 1/(3!)x^3$
$sin^2x \sim (x - 1/(3!)x^3)(x - 1/(3!)x^3)$
$sinx \sim x - 1/(3!)x^3$
$sin^2x \sim (x - 1/(3!)x^3)(x - 1/(3!)x^3)$
@ 75america:
Le prime volte che uno vede trucchi come questo gli sembra sempre che siano usciti dall'uovo di Pasqua. Ma sono disuguaglianze che si usano, con un po' di pratica ti vengono in mente.
Certo che si riesce: vedi come ha fatto clockover. A naso, quando vedi cose come $x^2+y^2$, può essere conveniente passare in coordinate polari.
"75america":
come hai preso in considerazione $(x-y)^2$?
Le prime volte che uno vede trucchi come questo gli sembra sempre che siano usciti dall'uovo di Pasqua. Ma sono disuguaglianze che si usano, con un po' di pratica ti vengono in mente.
"75america":
Ma aldilà di questa disuguaglianza si riesce a calcolare il limite in un altro modo o è troppo complicato
Certo che si riesce: vedi come ha fatto clockover. A naso, quando vedi cose come $x^2+y^2$, può essere conveniente passare in coordinate polari.
scusa dissonance io conosco solo i teoremi di confronto a due e a tre, allora mi potresti dire diciamo da che argomenti devo vedere certe disuguaglianze?
Grazie
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