Continuità di una funzione di due variabili
Salve,
Ho un esercizio in cui mi si chiede di verificare la continuità della seguente funzione di 2 variabili a seconda del parametro $α$:
$f(x,y) = {(e^-(1/(x^2+y^2)) / (sqrt(x^2+y^2)), (x,y)!=(0,0)),(α, (x,y)=(0,0)):}$
Allora io sono passato alle coordinate polari e sono giunto al seguente risultato:
$f(r,θ) = 1/(r*e^(1/r^2))$
Quando faccio il limite per $r -> 0$ mi risulta indeterminato... Devo quindi concludere che la funzione non è continua per qualsiasi valore di $α$??
Oppure devo pensare che $r^2$ arriva a $0$ molto più rapidamente di $r$ e quindi $e^(1/r^2)$ diventi infinito prima che $r$ raggiunga $0$ e perciò risulti $1/∞ = 0$ con conseguente continuità della funzione se e solo se $α=0$?
Grazie in anticipo!
Ho un esercizio in cui mi si chiede di verificare la continuità della seguente funzione di 2 variabili a seconda del parametro $α$:
$f(x,y) = {(e^-(1/(x^2+y^2)) / (sqrt(x^2+y^2)), (x,y)!=(0,0)),(α, (x,y)=(0,0)):}$
Allora io sono passato alle coordinate polari e sono giunto al seguente risultato:
$f(r,θ) = 1/(r*e^(1/r^2))$
Quando faccio il limite per $r -> 0$ mi risulta indeterminato... Devo quindi concludere che la funzione non è continua per qualsiasi valore di $α$??
Oppure devo pensare che $r^2$ arriva a $0$ molto più rapidamente di $r$ e quindi $e^(1/r^2)$ diventi infinito prima che $r$ raggiunga $0$ e perciò risulti $1/∞ = 0$ con conseguente continuità della funzione se e solo se $α=0$?
Grazie in anticipo!
Risposte
Sei sicuro che il limite sia indeterminato?
La funzione $r"e"^(1/r^2)$ come si comporta quando $r\to 0^+$?
Hai provato al sostituzione di variabile $rho=1/r^2$ quando calcoli il limite $lim_(r \to 0^+)r"e"^(1/r^2)$?
La funzione $r"e"^(1/r^2)$ come si comporta quando $r\to 0^+$?
Hai provato al sostituzione di variabile $rho=1/r^2$ quando calcoli il limite $lim_(r \to 0^+)r"e"^(1/r^2)$?
Se passo il limite al Derive mi risulta "?" (sia alla sinistra che alla destra di zero) che credo indichi l'indeterminatezza... Sia della funzione originale che della funzione passata alle coordinate polari.
Ma il limite all'esame lo devi calcolare tu o Derive?
Di solito uso il derive per capire se sto sbagliando o meno (non avendo i risultati), in questo caso ho cmq dei dubbi e perciò chiedo qui.
Qualche consiglio?
Qualche consiglio?
Calcola il limite a mano come ti ho consigliato... Vedrai che fila tutto liscio. 
Continua a venirmi indeterminata perchè se cambio $1/r^2 = p$ e $r = sqrt(1/p)$ allora $p -> ∞$ e ottengo sempre lo stesso risultato 
Ma almeno sai che l'esponenziale $"e"^rho$ è un infinito d'ordine maggiore di ogni potenza $rho^alpha$ in $+oo$?
Insomma, Analisi I l'hai studiato o sei passato direttamente ad Analisi II perchè sei troppo pheego?
Insomma, Analisi I l'hai studiato o sei passato direttamente ad Analisi II perchè sei troppo pheego?
infatti è per l'esame di Analisi I.. e cmq sia uno viene qui per farsi aiutare non per farsi sfottere. ciao
Riassumiamo, ti va?
- Proponi un esercizio;
- qualcuno ti risponde dandoti non uno, ma tre ottimi consigli che risolvono il problema quasi da soli;
- tu rispondi che hai fatto fare i conti ad un calcolatore che non ti sà dare risposta (perchè, se avresti dovuto farli tu?);
- qualcuno ti fa notare, seppur con tono ironico, che l'uso del calcolatore non sempre è risolutivo;
- tu rispondi che lo usi per controllare (ma che avrai da controllare se non sei riuscito a fare i conti?);
- qualcuno ti fa notare il problema si risolve con un calcolo semplice semplice che può essere fatto a mano;
- rispondi che non ti trovi, senza nemmeno postare due conti (troppa grazia...);
- qualcuno ti dice di guardare bene gli ordini d'infinito dopo la sostituzione, altro suggerimento che taglia la testa al toro.
Ora, dopo uno scambio di post del genere, il qualcuno ha voluto fare un po' di ironia.
Per farla breve:
$lim_(r\to 0^+) 1/(r*"e"^(1/r^2))=lim_(rho \to +oo) sqrt(rho)/("e"^rho)=0$.
Ora che ho risolto il limite, mi spiegheresti come ho fatto?
E, avendo questo risultato parziale, come concludi l'esercizio?
- Proponi un esercizio;
- qualcuno ti risponde dandoti non uno, ma tre ottimi consigli che risolvono il problema quasi da soli;
- tu rispondi che hai fatto fare i conti ad un calcolatore che non ti sà dare risposta (perchè, se avresti dovuto farli tu?);
- qualcuno ti fa notare, seppur con tono ironico, che l'uso del calcolatore non sempre è risolutivo;
- tu rispondi che lo usi per controllare (ma che avrai da controllare se non sei riuscito a fare i conti?);
- qualcuno ti fa notare il problema si risolve con un calcolo semplice semplice che può essere fatto a mano;
- rispondi che non ti trovi, senza nemmeno postare due conti (troppa grazia...);
- qualcuno ti dice di guardare bene gli ordini d'infinito dopo la sostituzione, altro suggerimento che taglia la testa al toro.
Ora, dopo uno scambio di post del genere, il qualcuno ha voluto fare un po' di ironia.
Per farla breve:
$lim_(r\to 0^+) 1/(r*"e"^(1/r^2))=lim_(rho \to +oo) sqrt(rho)/("e"^rho)=0$.
Ora che ho risolto il limite, mi spiegheresti come ho fatto?
E, avendo questo risultato parziale, come concludi l'esercizio?
Il calcolatore lo uso per verificare se i risultati sono coerenti, quando dici "ma che avrai da controllare se non sei riuscito a fare i conti?" hai ragione ed è proprio per questo che sono venuto qui a chiedere una mano!
Poi per quanto riguarda il seguito dell'esercizio, la tua battuta era del tutto fuori luogo per il semplice motivo che non era quello il mio problema (cioè conoscere gli ordini di infinito)... Non avevo fatto caso che $1/sqrt(1/p) = (1/p)^-(1/2)=sqrt(1/p)^-1=sqrt(p)$ perciò non risolvevo nulla con quella sostituzione!
Quando dici "rispondi che non ti trovi, senza nemmeno postare due conti (troppa grazia...)" non è vero perchè ho scritto tutta la sostituzione svolta che mi avevi suggerito (con tanto di risultato, "sempre lo stesso") dove mancava solo quel passaggio chiave che mi avresti potuto far notare se non ti fossi perso in battutine ironiche, fuori luogo (per tutto quello detto fino ad ora) e dunque inutili.
Cmq grazie del tempo, alla fine dei giri di giostra sei stato indubbiamente molto utile!
Ciao
Poi per quanto riguarda il seguito dell'esercizio, la tua battuta era del tutto fuori luogo per il semplice motivo che non era quello il mio problema (cioè conoscere gli ordini di infinito)... Non avevo fatto caso che $1/sqrt(1/p) = (1/p)^-(1/2)=sqrt(1/p)^-1=sqrt(p)$ perciò non risolvevo nulla con quella sostituzione!
Quando dici "rispondi che non ti trovi, senza nemmeno postare due conti (troppa grazia...)" non è vero perchè ho scritto tutta la sostituzione svolta che mi avevi suggerito (con tanto di risultato, "sempre lo stesso") dove mancava solo quel passaggio chiave che mi avresti potuto far notare se non ti fossi perso in battutine ironiche, fuori luogo (per tutto quello detto fino ad ora) e dunque inutili.
Cmq grazie del tempo, alla fine dei giri di giostra sei stato indubbiamente molto utile!
Ciao
"jollysa87":
Quando dici "rispondi che non ti trovi, senza nemmeno postare due conti (troppa grazia...)" non è vero perchè ho scritto tutta la sostituzione svolta che mi avevi suggerito (con tanto di risultato, "sempre lo stesso") dove mancava solo quel passaggio chiave che mi avresti potuto far notare se non ti fossi perso in battutine ironiche, fuori luogo (per tutto quello detto fino ad ora) e dunque inutili.
Ah, ero io a dovertelo far notare... Oltre a Derive vuoi portare anche me all'esame?
Alla fine, stavolta hai ottenuto quel che volevi senza dare nulla in cambio (tutte le mie domande restano ancora inevase).
La prossima non sarai tanto fortunato.
No assolutamente non dovevi essere tu a farmelo notare però pizzicandomi sulla storia degli ordini d'infinito mi hai trascinato un pò fuori strada.. Se proprio vuoi dire "Ah, ero io a dovertelo far notare" allora siamo giusti e diciamo pure che con la stessa logica non avresti dovuto nemmeno farmi la storia sugli ordini d'infinito!
Che ho ottenuto quello che volevo senza dare nulla in cambio non è propriamente vero perchè ti ho fatto un paio di click sulle pubblicità di google adsense, ti ho ringraziato nonostante l'arida ironia e cmq perchè me ne sono accorto da solo che non sbagliavo x colpa gli ordini d'infinito ma x via di quel mancato passaggio.
Per le "domande inevase" invece non capisco, il limite ormai è spiegato e il risultato dell'esercizio è dato, la funzione sarà continua per $α=0$.
Che ho ottenuto quello che volevo senza dare nulla in cambio non è propriamente vero perchè ti ho fatto un paio di click sulle pubblicità di google adsense, ti ho ringraziato nonostante l'arida ironia e cmq perchè me ne sono accorto da solo che non sbagliavo x colpa gli ordini d'infinito ma x via di quel mancato passaggio.
Per le "domande inevase" invece non capisco, il limite ormai è spiegato e il risultato dell'esercizio è dato, la funzione sarà continua per $α=0$.
"jollysa87":
No assolutamente non dovevi essere tu a farmelo notare però pizzicandomi sulla storia degli ordini d'infinito mi hai trascinato un pò fuori strada.. Se proprio vuoi dire "Ah, ero io a dovertelo far notare" allora siamo giusti e diciamo pure che con la stessa logica non avresti dovuto nemmeno farmi la storia sugli ordini d'infinito!
Mi credi se ti dico che ti perdevi in un passaggio talmente banale che non mi avrebbe mai sfiorato nemmeno l'anticamera del cervello l'idea che fosse quello il problema?
Ad ogni modo, se qui avessi postato qualche passaggio, non avrei sbagliato a "pizzicarti"...
"jollysa87":
Che ho ottenuto quello che volevo senza dare nulla in cambio non è propriamente vero perchè ti ho fatto un paio di click sulle pubblicità di google adsense, ti ho ringraziato nonostante l'arida ironia e cmq perchè me ne sono accorto da solo che non sbagliavo x colpa gli ordini d'infinito ma x via di quel mancato passaggio.
Noi mod non riceviamo soldi da google, né dagli amministratori.
Partecipiamo al foro come tutti gli altri e, come gli altri, abbiamo piacere quando qualcuno capisce i propri errori da solo e gli facciamo pure i complimenti. Bravo.
"jollysa87":
Per le "domande inevase" invece non capisco, il limite ormai è spiegato e il risultato dell'esercizio è dato, la funzione sarà continua per $alpha=0$.
Finalmente qualche considerazione sensata.
Buona serata.
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