Continuita di una funzione a due variabili nell origine

[Wluthienw]

Ciao a tutti ! Avrei un problema , una contraddizione che non capisco riguardo un esercizio spiegato in aula dalla professoressa. Della seguente funzione la professoressa ha affermato che è continua ovunque tranne che nell origine in quanto è il rapporto fra funzioni continue e il denominatore si annulla nell origine . $ (x^2y)/(x^4+y^2) $
Successivamente pero ha studiato il Limite della funzione nell origine e svolgendolo con le coordinate polare il risultato era 0 e quindi la funzione era continua. Qualcuno potrebbe spiegarmi questa contraddizione ? Prima afferma che è continua ovunque tranne che nell origine e poi svolgendo il limite afferma che nell origine è continua? Grazie molte

[Noisemaker]

perchè nell'origine la funzione non è definita quindi va a vedere cosa succede nell'origine calcolando il limite per $(x,y)\to(0,0)$; poichè il limite viene $0$ la funzione

\begin{align*}
f(x,y):=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^4+x^2}&\mbox{se}(x,y)\ne(0,0)\\
0&\mbox{se}(x,y)=(0,0)
\end{cases}
\end{align*}
è continua!

[Quinzio]

Bisogna fare attenzione in questi casi: se si applica la restrizione $y=x^2$ il limite $(x,x^2)->0$ è $1/2$. La funzione non è continua neanche con $f(0,0)=0$.

[Camillo]

Con la restrizione $y = x^2 $ il limite vale $0$.