Continuità di una funzione a 2 variabili
Ciao a tutti,
dopo varie ricerche su internet e aiuti vostri ho dedotto un po di cose riguardo la continuità di una funzione a 2 variabili e prima di archiviare il caso e passare avanti vorrei una conferma da voi.
Una funzione f(x,y) si dice continua in un punto $P(x_0,y_0)$ se esiste ed è finito $lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$
Il limite lo svolgo così:
$lim_(x->x_0^+) f(x,0) = lim_(x->x_0^-) f(x,0)=l$
E
$lim_(y->y_0^+) f(0,y) = lim_(y->y_0^-) f(0,y)=l$
Allora l se è finito è il risultato del limite.
Mi confermate il procedimento?
Faccio l'esempio completo di un esercizio:
$f(x,y)=(x^3+y^3)/(x^4+y^4)$ DOM= R-(0,0)
dunque:
$lim_(x->x_0)(x^3+0^3)/(x^4+0^4)=lim_(x->x_0)(1/x)$ Si osserva dunque facilmente che per ogni $x_0$ appartenente al dominio il limite è finito e coincide sia per $x_0^+$ che con $x_0^-$. L'unico punto che non va bene è zero, ma questo non è compreso nel dominio. Lo stesso ragionamento esatto lo verifico su x=0 e $y->y_0$ e quindi affermo che la funzione è continua (perchè lo è in tutto il suo dominio).
dopo varie ricerche su internet e aiuti vostri ho dedotto un po di cose riguardo la continuità di una funzione a 2 variabili e prima di archiviare il caso e passare avanti vorrei una conferma da voi.
Una funzione f(x,y) si dice continua in un punto $P(x_0,y_0)$ se esiste ed è finito $lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$
Il limite lo svolgo così:
$lim_(x->x_0^+) f(x,0) = lim_(x->x_0^-) f(x,0)=l$
E
$lim_(y->y_0^+) f(0,y) = lim_(y->y_0^-) f(0,y)=l$
Allora l se è finito è il risultato del limite.
Mi confermate il procedimento?
Faccio l'esempio completo di un esercizio:
$f(x,y)=(x^3+y^3)/(x^4+y^4)$ DOM= R-(0,0)
dunque:
$lim_(x->x_0)(x^3+0^3)/(x^4+0^4)=lim_(x->x_0)(1/x)$ Si osserva dunque facilmente che per ogni $x_0$ appartenente al dominio il limite è finito e coincide sia per $x_0^+$ che con $x_0^-$. L'unico punto che non va bene è zero, ma questo non è compreso nel dominio. Lo stesso ragionamento esatto lo verifico su x=0 e $y->y_0$ e quindi affermo che la funzione è continua (perchè lo è in tutto il suo dominio).
Risposte
No, non basta la continuità sulle rette coordinate... Deve essere da ogni direzione e in ogni modo possibile...
"vict85":
No, non basta la continuità sulle rette coordinate... Deve essere da ogni direzione e in ogni modo possibile...
cioè? parli della continuità di un punto o di tutta la funzione? l'errore è nello sviluppo del limite o nel mio concetto di continuità?
"CyberCrasher":
[quote="vict85"]No, non basta la continuità sulle rette coordinate... Deve essere da ogni direzione e in ogni modo possibile...
cioè? parli della continuità di un punto o di tutta la funzione? l'errore è nello sviluppo del limite o nel mio concetto di continuità?[/quote]
è sbagliato lo sviluppo del limite.ovvero devi verificare in ogni direzione sel il limite è uguale..e non solo per i due assi..
potresti considerare il fascio di rette per il punto..
"cntrone":
[quote="CyberCrasher"][quote="vict85"]No, non basta la continuità sulle rette coordinate... Deve essere da ogni direzione e in ogni modo possibile...
cioè? parli della continuità di un punto o di tutta la funzione? l'errore è nello sviluppo del limite o nel mio concetto di continuità?[/quote]
è sbagliato lo sviluppo del limite.ovvero devi verificare in ogni direzione sel il limite è uguale..e non solo per i due assi..
potresti considerare il fascio di rette per il punto..[/quote]
come si traduce praticamente il fascio di rette di cui parli? puoi sviluppare il limite da me proposto in esempio? grazie
"cntrone":
[quote="CyberCrasher"][quote="vict85"]No, non basta la continuità sulle rette coordinate... Deve essere da ogni direzione e in ogni modo possibile...
cioè? parli della continuità di un punto o di tutta la funzione? l'errore è nello sviluppo del limite o nel mio concetto di continuità?[/quote]
è sbagliato lo sviluppo del limite.ovvero devi verificare in ogni direzione sel il limite è uguale..e non solo per i due assi..
potresti considerare il fascio di rette per il punto..[/quote]
Che esista il limite tutte le rette è solo una condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza del limite...
Questi sono test più per dimostrare che un limite non esiste che per dimostrarne l'esistenza...
La forma "polare" è la più precisa comunque... Ma a volte credo che l'usare semplicemente qualche trucchetto algebrico sia la cosa migliore...
"cntrone":
è sbagliato lo sviluppo del limite.ovvero devi verificare in ogni direzione sel il limite è uguale..e non solo per i due assi..
potresti considerare il fascio di rette per il punto..
Purtroppo quanto dici è falso. Un controesempio è la funzione reale di due variabili reali $f(x,y)={(\frac{x^3}{x^4+y^2}, (x, y)!=(0,0)), (0, (x, y)=(0,0)):}$ che non è continua nell'origine. Eppure se ne consideriamo le restrizioni al fascio di rette di centro l'origine notiamo che sono tutte infinitesime. Infatti:
il fascio di rette è composto dalle $y=mx$ al variare di $m\inRR$ e dalla $x=0$. Lungo quest'ultima la funzione è $f(0, y)=0$ identicamente, lungo le altre è $f(x, mx)={(\frac{x^3}{x^4+m^2x^2}, x!=0), (0, x=0):}$. Osserviamo facilmente che per $(x, y)\to0$ entrambe queste funzioni sono infinitesime.
Tuttavia $f$ non è continua in $(0,0)$, anzi non è nemmeno limitata in nessun intorno dell'origine: valutandola lungo la parabola $y=x^2$ si ottiene $f(x, x^2)={(1/(2x), x!=0), (0, x=0):}$, che esplode per $(x, y)\to(0,0)$.
quindi io che devo fare per sviluppare i limite.. a quanto ho capito ogni metodo serve solo a dimostrare che non esiste il limite ma sono tutte condizioni necessarie e che non mi danno con esattezza il risultato.
potete dirmi qual'è il metodo certo per trovare il limite se esiste? mi servirebbe un procedimento PRATICO e non suggerimenti teorici visto che non sono in grado di andarli a fare da solo. GRAZIE
potete dirmi qual'è il metodo certo per trovare il limite se esiste? mi servirebbe un procedimento PRATICO e non suggerimenti teorici visto che non sono in grado di andarli a fare da solo. GRAZIE
il fatto è che non c'è un metodo... ogni direzione va bene, ogni restrizione va bene....
grazie mille per avermi corretto..effettivamente mi sono reso conto dell'errore..a questo punto ne approfitto per fare qualche domanda..
@vict85 : dici che attraverso le coordinate polari si ha più presione..ma cosa intendi per precisione? l'utilizzo delle stesse mi da la certezza dell'esistenza del limite o è ancora una condizione necessaria?
infine volevo avere conferma sul fatto che la composizione di funzioni continue è una funzione continua e che quindi è possibile affermare a priori che la funzione portata come esempio da cybercrasher è continua..
@vict85 : dici che attraverso le coordinate polari si ha più presione..ma cosa intendi per precisione? l'utilizzo delle stesse mi da la certezza dell'esistenza del limite o è ancora una condizione necessaria?
infine volevo avere conferma sul fatto che la composizione di funzioni continue è una funzione continua e che quindi è possibile affermare a priori che la funzione portata come esempio da cybercrasher è continua..
scusate avrei un'altra domanda.. qual'è la connessione tra continuità di una funzione e differenziabilità? una funzione che non è continua si puo dire a priori che non è differenziabile?
"CyberCrasher":
scusate avrei un'altra domanda.. qual'è la connessione tra continuità di una funzione e differenziabilità? una funzione che non è continua si puo dire a priori che non è differenziabile?
la differenziabilità implica la continuità..quindi si..se non è continua puoi affermare che non sia differenziabile..
Scusate se riapro il topic ma ho avuto modo di riflettere su quanto è stato detto e ho approfondito lo sviluppo dei limiti a 2 variabili che adesso riesco a fare senza problemi.
Tornando all'argomento principale (continuità) è corretto affermare che una funzione è continua in un $P(x_0,y_0)$ se:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$ con l numero finito
Inoltre.. per verificare la continuità completa della funzione nel suo dominio cosa faccio? non ho le coordinate $x_0,y_0$ di un punto specifico da verificare.
Grazie
Tornando all'argomento principale (continuità) è corretto affermare che una funzione è continua in un $P(x_0,y_0)$ se:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$ con l numero finito
Inoltre.. per verificare la continuità completa della funzione nel suo dominio cosa faccio? non ho le coordinate $x_0,y_0$ di un punto specifico da verificare.
Grazie
uppettino 
help 
[mod="dissonance"]Piano con gli "up". Ricordati il punto 3.4 del regolamento (click).[/mod]
ok scusami
up
Ciao,
per verificare la continuità generale, si potrebbe procedere così:
riscrivere la funzione $f(x,y)$ in coordinate polari $f(\rho,\theta)$ senza fissare il punto (che ovviamente non si conosce), ma ponendo semplicemente $x_0$ e $y_0$...a questo punto si studia se per $\rho->0$ e per qualsiasi $\theta$ il risultato dipende solo dai valori di $x_0$ e $y_0$.
per verificare la continuità generale, si potrebbe procedere così:
riscrivere la funzione $f(x,y)$ in coordinate polari $f(\rho,\theta)$ senza fissare il punto (che ovviamente non si conosce), ma ponendo semplicemente $x_0$ e $y_0$...a questo punto si studia se per $\rho->0$ e per qualsiasi $\theta$ il risultato dipende solo dai valori di $x_0$ e $y_0$.
"Alexp":
Ciao,
per verificare la continuità generale, si potrebbe procedere così:
riscrivere la funzione $f(x,y)$ in coordinate polari $f(\rho,\theta)$ senza fissare il punto (che ovviamente non si conosce), ma ponendo semplicemente $x_0$ e $y_0$...a questo punto si studia se per $\rho->0$ e per qualsiasi $\theta$ il risultato dipende solo dai valori di $x_0$ e $y_0$.
Innanzitutto grazie per la risposta. Vorrei intanto capire se la continuità in un punto si sviluppa come da me postato ovvero:
"CyberCrasher":
è corretto affermare che una funzione è continua in un $P(x_0,y_0)$ se:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$ con l numero finito
Poi, tornando a quello che mi hai detto tu per la continuità generale.. il tuo metodo corrisponde ad uno dei metodi di sviluppo di un generico limite a 2 incognite quindi si procede con x e y che tendono ad un generico $x_0, y_0$? (e tra i metodi di risoluzione c'è anche quello delle coord. polari)
Scusa Alex se ti interrompo però vorrei rispondere a questo:
Un altro paragrafo che ti consiglio di guardare sul libro è quello sulla continuità della somma, del prodotto, del quoziente e delle funzioni composte. Quando in un esercizio ti viene passata una funzione di cui studiare la continuità, quasi sempre questa sarà espressa mediante funzioni elementari, che sono continue nel loro insieme di definizione. Usando i risultati che dicevo sopra, ottieni velocemente la continuità in moltissimi punti, e ti restano da studiare le eccezioni, esattamente come facevi per le funzioni di una variabile. Ad esempio: dove è continua la funzione $f(x)={((sinx)/x, x!=0), (1, x=0):}$? Senza fare alcun conto questa funzione è continua per $x!=0$ perché è ottenuta moltiplicando funzioni continue. Per $x=0$ non puoi dire nulla a priori e allora procedi a calcolare il limite, visto che $0$ è un punto di accumulazione per il dominio di $f$. Alla fine salta fuori che $f$ è continua pure in $0$.
Questo stesso schema si applica pari pari alle funzioni di più variabili. Però, Cyber, devi studiare un po' di teoria altrimenti avrai sempre difficoltà.
"CyberCrasher":Assolutamente no. Intanto, per parlare di limite deve essere $(x_0, y_0)$ un punto di accumulazione per il dominio di $f$ (qui Fioravante avrebbe da ridire, ma in genere si richiede questo. Inoltre così le cose sono un poco più semplici, IMHO). E poi non è sufficiente che $l$ sia un numero finito: deve essere $f(x_0, y_0)=l$. Consiglio: apri il libro e vedi la definizione di "applicazione continua". Al 90% troverai una roba di $epsilon$ e $delta$, seguita da una caratterizzazione fatta mediante i limiti, quella a cui stai facendo riferimento.
Tornando all'argomento principale (continuità) è corretto affermare che una funzione è continua in un $P(x_0,y_0)$ se:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$ con l numero finito
Inoltre.. per verificare la continuità completa della funzione nel suo dominio cosa faccio? non ho le coordinate $x_0,y_0$ di un punto specifico da verificare.
Grazie
Un altro paragrafo che ti consiglio di guardare sul libro è quello sulla continuità della somma, del prodotto, del quoziente e delle funzioni composte. Quando in un esercizio ti viene passata una funzione di cui studiare la continuità, quasi sempre questa sarà espressa mediante funzioni elementari, che sono continue nel loro insieme di definizione. Usando i risultati che dicevo sopra, ottieni velocemente la continuità in moltissimi punti, e ti restano da studiare le eccezioni, esattamente come facevi per le funzioni di una variabile. Ad esempio: dove è continua la funzione $f(x)={((sinx)/x, x!=0), (1, x=0):}$? Senza fare alcun conto questa funzione è continua per $x!=0$ perché è ottenuta moltiplicando funzioni continue. Per $x=0$ non puoi dire nulla a priori e allora procedi a calcolare il limite, visto che $0$ è un punto di accumulazione per il dominio di $f$. Alla fine salta fuori che $f$ è continua pure in $0$.
Questo stesso schema si applica pari pari alle funzioni di più variabili. Però, Cyber, devi studiare un po' di teoria altrimenti avrai sempre difficoltà.
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