Continuità di una funzione a 2 variabili
Ciao a tutti,
dopo varie ricerche su internet e aiuti vostri ho dedotto un po di cose riguardo la continuità di una funzione a 2 variabili e prima di archiviare il caso e passare avanti vorrei una conferma da voi.
Una funzione f(x,y) si dice continua in un punto $P(x_0,y_0)$ se esiste ed è finito $lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$
Il limite lo svolgo così:
$lim_(x->x_0^+) f(x,0) = lim_(x->x_0^-) f(x,0)=l$
E
$lim_(y->y_0^+) f(0,y) = lim_(y->y_0^-) f(0,y)=l$
Allora l se è finito è il risultato del limite.
Mi confermate il procedimento?
Faccio l'esempio completo di un esercizio:
$f(x,y)=(x^3+y^3)/(x^4+y^4)$ DOM= R-(0,0)
dunque:
$lim_(x->x_0)(x^3+0^3)/(x^4+0^4)=lim_(x->x_0)(1/x)$ Si osserva dunque facilmente che per ogni $x_0$ appartenente al dominio il limite è finito e coincide sia per $x_0^+$ che con $x_0^-$. L'unico punto che non va bene è zero, ma questo non è compreso nel dominio. Lo stesso ragionamento esatto lo verifico su x=0 e $y->y_0$ e quindi affermo che la funzione è continua (perchè lo è in tutto il suo dominio).
dopo varie ricerche su internet e aiuti vostri ho dedotto un po di cose riguardo la continuità di una funzione a 2 variabili e prima di archiviare il caso e passare avanti vorrei una conferma da voi.
Una funzione f(x,y) si dice continua in un punto $P(x_0,y_0)$ se esiste ed è finito $lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l$
Il limite lo svolgo così:
$lim_(x->x_0^+) f(x,0) = lim_(x->x_0^-) f(x,0)=l$
E
$lim_(y->y_0^+) f(0,y) = lim_(y->y_0^-) f(0,y)=l$
Allora l se è finito è il risultato del limite.
Mi confermate il procedimento?
Faccio l'esempio completo di un esercizio:
$f(x,y)=(x^3+y^3)/(x^4+y^4)$ DOM= R-(0,0)
dunque:
$lim_(x->x_0)(x^3+0^3)/(x^4+0^4)=lim_(x->x_0)(1/x)$ Si osserva dunque facilmente che per ogni $x_0$ appartenente al dominio il limite è finito e coincide sia per $x_0^+$ che con $x_0^-$. L'unico punto che non va bene è zero, ma questo non è compreso nel dominio. Lo stesso ragionamento esatto lo verifico su x=0 e $y->y_0$ e quindi affermo che la funzione è continua (perchè lo è in tutto il suo dominio).
Risposte
dissonance grazie mille per le spiegazioni che adesso vedrò di approfondire tra il libro e quanto mi hai scritto.
Il fatto è che per ora non ci sono lezioni quindi sto studiando un po per conto mio tra esercizi svolti un po qua e un po là e materiali didattici online quindi non ho seguito un corso di matematica 2 e la teoria l'ho tralasciata in parte. Il nostro prof non la chiede quindi sto cercando di fare del mio meglio per presentarmi tra una settimana. Mi manca solo questo argomento quindi vorrei cercare di capire il procedimento senza tanta teoria. Mi rendo conto che mi perdo il bello della matematica ma la situazione è quella che è e vista la fretta temo che non potrò approfondire abbastanza. Cerco solo di capire il meccanismo pratico per l'esercizio.
Vorrei capire meglio l'esempio che fai (perchè il prof lascia esami del tipo da te descritto in sistema) però noi facciamo funzioni a 2 variabili, non come quella da te postata
Puoi farmi uno sviluppo di un esercizio di continuità di funzione a 2 variabili? so che ti chiedo tanto ma è quel che mi serve
ad esempio:
$f(x,y)={((x^4+y^4)/(x^2+y^2) ->(x,y)!=(0,0)),(0 ->(x,y)=(0,0)):}$ è continua? vorrei capire il procedimento e il tuo ragionamento. GRAZIE
Il fatto è che per ora non ci sono lezioni quindi sto studiando un po per conto mio tra esercizi svolti un po qua e un po là e materiali didattici online quindi non ho seguito un corso di matematica 2 e la teoria l'ho tralasciata in parte. Il nostro prof non la chiede quindi sto cercando di fare del mio meglio per presentarmi tra una settimana. Mi manca solo questo argomento quindi vorrei cercare di capire il procedimento senza tanta teoria. Mi rendo conto che mi perdo il bello della matematica ma la situazione è quella che è e vista la fretta temo che non potrò approfondire abbastanza. Cerco solo di capire il meccanismo pratico per l'esercizio.
Vorrei capire meglio l'esempio che fai (perchè il prof lascia esami del tipo da te descritto in sistema) però noi facciamo funzioni a 2 variabili, non come quella da te postata
Puoi farmi uno sviluppo di un esercizio di continuità di funzione a 2 variabili? so che ti chiedo tanto ma è quel che mi serve ad esempio:
$f(x,y)={((x^4+y^4)/(x^2+y^2) ->(x,y)!=(0,0)),(0 ->(x,y)=(0,0)):}$ è continua? vorrei capire il procedimento e il tuo ragionamento. GRAZIE
Io svilupperei semplicemente il limite della funzione sul punto (0,0) che è l'unico punto incerto di continuità.
Dunque:
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x)$ che col metodo delle coord. polari si traduce in:
$lim_(rho->0)(rho^4cos^4(theta)+rho^4sen^4(theta))/(rho^2cos^2(theta)+rho^2sen^2(theta)) = lim_(rho->0)rho^2(cos^4(theta)+sen^4(theta)) = 0 $ indipendentemente da $theta$
il limite esiste ed è finito quindi la funzione è continua anche in P(0,0). Quindi POTREBBE essere differenziabile. Se non fosse venuto finito non era nè continua nè differenziabile. Tutto sbagliato?
Dunque:
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x)$ che col metodo delle coord. polari si traduce in:
$lim_(rho->0)(rho^4cos^4(theta)+rho^4sen^4(theta))/(rho^2cos^2(theta)+rho^2sen^2(theta)) = lim_(rho->0)rho^2(cos^4(theta)+sen^4(theta)) = 0 $ indipendentemente da $theta$
il limite esiste ed è finito quindi la funzione è continua anche in P(0,0). Quindi POTREBBE essere differenziabile. Se non fosse venuto finito non era nè continua nè differenziabile. Tutto sbagliato?
"CyberCrasher":
il limite esiste ed è finito quindi la funzione è continua anche in P(0,0).
Secondo il tuo ragionamento anche le funzioni
${(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}, (x, y)!=0), (10, (x, y)=0):}$
${(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}, (x, y)!=0), (100, (x, y)=0):}$
${(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}, (x, y)!=0), (1000, (x, y)=0):}$
$vdots$
${(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}, (x, y)!=0), ("un milione", (x, y)=0):}$
sono continue in $(0, 0)$. Mi pare ci sia qualcosa che non va... Comunque è quasi tutto giusto a parte questo fatto.
provo a ragionare...
per quello che ho detto io il limite esiste in (0,0) e non tengo conto del valore della funzione in quel punto (che nel mio caso è 0)
Quindi se dovessi trovarmi in uno dei casi da te proposti successivamente non avrei continuità perchè il risultato del limite deve corrispondere al valore che il sistema impone per quel punto.
quindi per i tuoi sistemi:
il primo dovrebbe venire 10 nel limite, poi 100.. ecc..
Il caso posto da me esiste quindi non perchè il limite esiste ed è finito, ma perchè il limite esiste e corrisponde al valore che leggo dal sistema della funzione.
E' corretto?
EDIT:
La regola generale diventa dunque:
Sia $P(x_0,y_0)$ punto di accumulazione per f(x,y), si verifica che la funzione sia continua in tale punto se:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=f(x_0,y_0)$
Per verificare che una funzione sia continua bisogna accertarsi che per tutti i punti di accumulazione della funzione l'equazione sia verificata.
per quello che ho detto io il limite esiste in (0,0) e non tengo conto del valore della funzione in quel punto (che nel mio caso è 0)
Quindi se dovessi trovarmi in uno dei casi da te proposti successivamente non avrei continuità perchè il risultato del limite deve corrispondere al valore che il sistema impone per quel punto.
quindi per i tuoi sistemi:
il primo dovrebbe venire 10 nel limite, poi 100.. ecc..
Il caso posto da me esiste quindi non perchè il limite esiste ed è finito, ma perchè il limite esiste e corrisponde al valore che leggo dal sistema della funzione.
E' corretto?
EDIT:
La regola generale diventa dunque:
Sia $P(x_0,y_0)$ punto di accumulazione per f(x,y), si verifica che la funzione sia continua in tale punto se:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=f(x_0,y_0)$
Per verificare che una funzione sia continua bisogna accertarsi che per tutti i punti di accumulazione della funzione l'equazione sia verificata.
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