Continuità di una funzione

[gurghet]

Ok ho voluto provare una cosa ma mi sono incartato subito. Volevo dimostrare che $x^n$ è continua per ogni $n$ naturale tramite la verifica di un limite, $\lim_{x->x_0} x^n = x_0^n$. Ma non ho trovato il delta per cui $x^n$ dista da $x_0^n$ meno di $\epsilon$. Qualcuno saprebbe dimostrare la continuità con questo metodo? O mi devo arrendere e cambiare strada?

Mi spiego meglio, sono partito subito cercando di risolvere la disequazione $|x^n - x_0^n|<\epsilon$ e sono finito con $x_0^n-\epsilon

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Risposte

gugo82

10 giu 2009, 21:37

Vediamo se mi ricordo il trucco...

Proviamo a scomporre $x^n-x_0^n=(x-x_0)*\sum_(k=0)^(n-1) x^k x_0^(n-1-k)$, cosicché troviamo:

$|x^n-x_0^n|<=|x-x_0|*\sum_(k=0)^(n-1)|x^k||x_0^(n-k-1)|$

A questo punto se "costringiamo" $x$ a variare in un fissato intorno di $x_0$, ad esempio in $]x_0-1,x_0+1[$, la somma si può maggiorare con un'opportuna costante $L>0$ (dipendente da $x_0$ e da $1$); preso $0
$|x^n-x_0^n|
con $delta=epsilon/L$.

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gurghet

10 giu 2009, 21:40

grazie mille! ore di arrovellamento mentale salvate!

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gurghet

12 giu 2009, 09:54

Gugo82, ho ragionato un po' sulla tua risposta, vediamo se ho capito. allora io so che $|x^n-x_0^n|=|(x-x_0)\sum_{k=0}^{n-1}x^k x_0^{n-1-k}|$.
Per la dis triangolare $|x^n-x_0^n|\leq|x-x_0|\sum_{k_0}^{n-1}|x^k x_0^{n-1-k}|$, pongo $L_{x_0}(\Delta)=\sum_{k_0}^{n-1}|(x_0+\Delta)^k x_0^{n-1-k}|$ con $\Delta = x-x_0$,
allora se $|\Delta|L_{x_0}(\Delta)<\epsilon$ sicuramente si hanno due cose: $|x^n-x_0^n|<\epsilon$, poiché il primo membro è minore o uguale di $|\Delta|L_{x_0}(\Delta)$; la seconda cosa è $|\Delta|<\frac{\epsilon}{L_{x_0}(\Delta)}$, il secondo membro è il delta piccolo tanto agoniato.
PS: il fatto che il delta piccolo dipenda dal delta grande non è un problema?

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Gaal Dornick

12 giu 2009, 17:50

Secondo me potresti sfruttare la continuità della $f(x)=x$ e il teorema che ti assicura che prodotto di funzioni continue è continua. Easy! (induzione!)

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gurghet

13 giu 2009, 10:37

gaal tu sei un signore della matematica, la matematica ogni tanto va anche presa a schiaffi!

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Gaal Dornick

13 giu 2009, 13:03

Beh, un signore della matematica non direi proprio!
Però il problema è che la mia affermazione va provata: non basta richiamare il teorema che dice che composta di continue è continua. Bisogna poi dimostrarlo! Altrimenti difatto si sta aggirando il problema. Ma spesso è più facile provare un risultato più generale di uno particolare.

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[gugo82]

Vediamo se mi ricordo il trucco...

Proviamo a scomporre $x^n-x_0^n=(x-x_0)*\sum_(k=0)^(n-1) x^k x_0^(n-1-k)$, cosicché troviamo:

$|x^n-x_0^n|<=|x-x_0|*\sum_(k=0)^(n-1)|x^k||x_0^(n-k-1)|$

A questo punto se "costringiamo" $x$ a variare in un fissato intorno di $x_0$, ad esempio in $]x_0-1,x_0+1[$, la somma si può maggiorare con un'opportuna costante $L>0$ (dipendente da $x_0$ e da $1$); preso $0
$|x^n-x_0^n|
con $delta=epsilon/L$.

[gurghet]

grazie mille! ore di arrovellamento mentale salvate!

[gurghet]

Gugo82, ho ragionato un po' sulla tua risposta, vediamo se ho capito. allora io so che $|x^n-x_0^n|=|(x-x_0)\sum_{k=0}^{n-1}x^k x_0^{n-1-k}|$.
Per la dis triangolare $|x^n-x_0^n|\leq|x-x_0|\sum_{k_0}^{n-1}|x^k x_0^{n-1-k}|$, pongo $L_{x_0}(\Delta)=\sum_{k_0}^{n-1}|(x_0+\Delta)^k x_0^{n-1-k}|$ con $\Delta = x-x_0$,
allora se $|\Delta|L_{x_0}(\Delta)<\epsilon$ sicuramente si hanno due cose: $|x^n-x_0^n|<\epsilon$, poiché il primo membro è minore o uguale di $|\Delta|L_{x_0}(\Delta)$; la seconda cosa è $|\Delta|<\frac{\epsilon}{L_{x_0}(\Delta)}$, il secondo membro è il delta piccolo tanto agoniato.
PS: il fatto che il delta piccolo dipenda dal delta grande non è un problema?

[Gaal Dornick]

Secondo me potresti sfruttare la continuità della $f(x)=x$ e il teorema che ti assicura che prodotto di funzioni continue è continua. Easy! (induzione!)

[gurghet]

gaal tu sei un signore della matematica, la matematica ogni tanto va anche presa a schiaffi!

[Gaal Dornick]

Beh, un signore della matematica non direi proprio!
Però il problema è che la mia affermazione va provata: non basta richiamare il teorema che dice che composta di continue è continua. Bisogna poi dimostrarlo! Altrimenti difatto si sta aggirando il problema. Ma spesso è più facile provare un risultato più generale di uno particolare.