Continuità di una funzione

[michealorion]

sia:

$f(x)=\{(x^a(e^(x^3) - 1), " se " x>0),(0, " se " x=0):}$

determinare i valori di a per cui la $f$ è continua

allora il mio ragionamento è stato questo:

visto che $f(0) = 0$ devo trovare tutti gli $a$ per cui il $lim_(x->0^+) x^a(e^(x^3) - 1)$ sia $0$

visto che $e^(x^3) -1$ per $x$ che tende a $0$ è infinitesimo
e che $x^a \to 0$ per ogni $a$ di $RR^+$

quindi è continua per ogni $a>0$

però è sbagliato perchè il risultato è continua per ogni $a>=-3$

mi aiutate a capire dove ho sbagliato e i passi per risolvere l'esercizio
grazie mille !!!

[Luca.Lussardi]

$a>0$ Ok, $a=0$ prova a metterlo. Per $a<0$ vedilo come $(e^{3x}-1)/(x^{-a})$.

Riguarda anche l'editing in mathml.

[michealorion]

ah capito, già è vero!!!

grazie mille!!!

[michealorion]

scusami, ho provato a farlo..

per $x=0$ mi torna continua

ma per $a<0$ non riesco a svilupparlo, mi potresti dare una mano..

[leena1]

Utilizza De l'Hospital

[gugo82]

"leena":Utilizza De l'Hospital

Ma anche no... Non ce n'è affatto bisogno; basta ricordarsi il limite fondamentale $lim_(y\to 0) (e^y-1)/y=1$.

Infatti hai (quanto sto per dire vale per ogni $a in RR$):

$lim_(x\to 0) x^a (e^(x^3)-1)=lim_(x\to 0) x^a*x^3*(e^(x^3)-1)/x^3=lim_(x\to 0) x^(a+3)*(e^(x^3)-1)/x^3$;

ora, per il limite fondamentale, il secondo fattore dell'ultimo membro converge a $1$ per $x\to 0$ (infatti basta sostituire $y=x^3$ nel limite fondamentale), mentre per il primo fattore si presentano le seguenti eventualità:

$lim_(x\to 0) x^(a+3)=\{(0, ", se " a> -3),(1, ", se " a = -3),(oo, ", se " a < -3):}$

quindi hai:

$lim_(x\to 0) x^a (e^(x^3)-1)=0 \Leftrightarrow a> -3$

proprio come diceva il risultato del testo.

[michealorion]

grazie mille!!!