Continuità di un campo scalare
Buonasera a tutti.
Vi chiedo aiuto perchè sono fermo su una cosa scema, non so più dove sbattere la testa, probabilmente è idiota ma proprio non la vedo.
Considerato il campo scalare [tex]\displaystyle \frac{xy^3}{x^4+y^2}[/tex] se $(x,y)!=(0,0)$ e $0$ altrimenti, dire se è continuo in $(0,0)$.
Calcolo
[tex]\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{x^4+y^2}[/tex]
Passo in coordinate polari e trovo
[tex]\displaystyle \lim_{\rho \to 0^{+}} \frac{\rho^2\cos\theta \sin^{3}\theta}{\rho^2\cos^{4}\theta+\sin^{2}\theta}=0[/tex] per ogni [tex]\theta \in [0,2\pi][/tex].
Il problema sta nel mostrare l'uniformità del limite: non so più che fare.
Come posso maggiorare 'sta benedetta frazione? Sopra non ho problemi, tutto si lascia dominare da $rho^2$; sotto invece? Dovrei minorare il denominatore (per maggiorare la frazione). Ho pensato di "buttare via" un addendo al denominatore, visto che è tutto positivo:
[tex]\displaystyle \frac{\vert \rho^2\cos\theta \sin^{3}\theta \vert }{\vert \rho^2\cos^{4}\theta+\sin^{2}\theta \vert} \le \frac{\rho^2}{\rho^2\cos^{4}\theta}= ?[/tex]
Insomma, non ricavo nulla.
Ancora ho pensato di cancellare tutto e ricominciare da capo, provando a dimostrare (senza coordinate polari) che il limite esiste nullo mediante la definizione. Nulla da fare, ovviamente.
Mi date un hint per piacere? Mi sento un incapace con le disuguaglianze...
Grazie e scusate se ho scritto qualche cretinata, ma sono proprio un po' fuso.
Vi chiedo aiuto perchè sono fermo su una cosa scema, non so più dove sbattere la testa, probabilmente è idiota ma proprio non la vedo.
Considerato il campo scalare [tex]\displaystyle \frac{xy^3}{x^4+y^2}[/tex] se $(x,y)!=(0,0)$ e $0$ altrimenti, dire se è continuo in $(0,0)$.
Calcolo
[tex]\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{x^4+y^2}[/tex]
Passo in coordinate polari e trovo
[tex]\displaystyle \lim_{\rho \to 0^{+}} \frac{\rho^2\cos\theta \sin^{3}\theta}{\rho^2\cos^{4}\theta+\sin^{2}\theta}=0[/tex] per ogni [tex]\theta \in [0,2\pi][/tex].
Il problema sta nel mostrare l'uniformità del limite: non so più che fare.
Come posso maggiorare 'sta benedetta frazione? Sopra non ho problemi, tutto si lascia dominare da $rho^2$; sotto invece? Dovrei minorare il denominatore (per maggiorare la frazione). Ho pensato di "buttare via" un addendo al denominatore, visto che è tutto positivo:
[tex]\displaystyle \frac{\vert \rho^2\cos\theta \sin^{3}\theta \vert }{\vert \rho^2\cos^{4}\theta+\sin^{2}\theta \vert} \le \frac{\rho^2}{\rho^2\cos^{4}\theta}= ?[/tex]
Insomma, non ricavo nulla.
Ancora ho pensato di cancellare tutto e ricominciare da capo, provando a dimostrare (senza coordinate polari) che il limite esiste nullo mediante la definizione. Nulla da fare, ovviamente.
Mi date un hint per piacere? Mi sento un incapace con le disuguaglianze...
Grazie e scusate se ho scritto qualche cretinata, ma sono proprio un po' fuso.
Risposte
Io ricordo che quando facevamo questi esercizi la prof spesso, quando non era utile passare a coordinate polari, ci diceva di avvicinarci al punto (nel nostro caso l'origine) con rette tipo $y=x$, in questo modo era più facile verificare la continuità. Ed in effetti se ti avvicini all'origine utilizzando la bisettrice avrai che il tuo limite di partenza diventa
$lim_(y->0)(y^4)/(y^4+y^2)$ che tende a zero.
Non vorrei aver detto una cavolata, visto che è passato un pò di tempo dall'esame.
$lim_(y->0)(y^4)/(y^4+y^2)$ che tende a zero.
Non vorrei aver detto una cavolata, visto che è passato un pò di tempo dall'esame.
Anche generalizzando e avvicinandosi all'origine secondo una retta $ y=m x $ si ha che il limite, in questo caso, tende a $0 $ ma questo non ci assicura affatto che il limite cercato sia $0 $ .Bisognerebbe provare in tutti i modi possibili 
Questo metodo è più utile per dimostrare che il limite non esiste se avvicinandosi all'origine con 2 percorsi diversi si trovassero 2 valori diversi e per l'unicità del limite si conclude facil,mente .
Questo metodo è più utile per dimostrare che il limite non esiste se avvicinandosi all'origine con 2 percorsi diversi si trovassero 2 valori diversi e per l'unicità del limite si conclude facil,mente .
Innanzitutto lo vedi col teo del confronto minorando il denominatore:
[tex]\displaystyle 0 \leq \left| \frac{xy^3}{x^4+y^2} \right|\leq \left| \frac{xy^3}{y^2} \right| =|xy|\stackrel{(x,y)\to(0,0)}{\longrightarrow} 0[/tex]
Se vuoi usare le coordinate polari:
[tex]\displaystyle \lim_{\rho \to 0^{+}} \sup_{\theta \in [0,2\pi]}\left| \frac{\rho^2\cos\theta \sin^{3}\theta}{\rho^2\cos^{4}\theta+\sin^{2}\theta}\right|[/tex].
puoi minorare il denominatore buttando via l'altro pezzo rispetto a quello che hai scelto tu, cioè il $\rho cos^4theta$ visto che è sempre positivo...Che poi è la stessa cosa...Però così ottieni una maggiorazione che va a 0!
[tex]\displaystyle 0 \leq \left| \frac{xy^3}{x^4+y^2} \right|\leq \left| \frac{xy^3}{y^2} \right| =|xy|\stackrel{(x,y)\to(0,0)}{\longrightarrow} 0[/tex]
Se vuoi usare le coordinate polari:
[tex]\displaystyle \lim_{\rho \to 0^{+}} \sup_{\theta \in [0,2\pi]}\left| \frac{\rho^2\cos\theta \sin^{3}\theta}{\rho^2\cos^{4}\theta+\sin^{2}\theta}\right|[/tex].
puoi minorare il denominatore buttando via l'altro pezzo rispetto a quello che hai scelto tu, cioè il $\rho cos^4theta$ visto che è sempre positivo...Che poi è la stessa cosa...Però così ottieni una maggiorazione che va a 0!
"Camillo":
Anche generalizzando e avvicinandosi all'origine secondo una retta $ y=m x $ si ha che il limite, in questo caso, tende a $0 $ ma questo non ci assicura affatto che il limite cercato sia $0 $ .Bisognerebbe provare in tutti i modi possibili
Questo metodo è più utile per dimostrare che il limite non esiste se avvicinandosi all'origine con 2 percorsi diversi si trovassero 2 valori diversi e per l'unicità del limite si conclude facil,mente .
Già hai ragione...grazie per la correzione, fa sempre bene fare un tuffo nel passato!
"Paolo90":
[tex]\displaystyle \frac{\vert \rho^2\cos\theta \sin^{3}\theta \vert }{\vert \rho^2\cos^{4}\theta+\sin^{2}\theta \vert} \le \frac{\rho^2}{\rho^2\cos^{4}\theta}= ?[/tex]
Se butti via il seno nella funzione maggiorante sei nei guai, osserva che il denominatore al primo membro della disguaglianza ha certamente un minimo, perchè seno e coseno non si annullano mai insieme, e nemmeno si avviciano a questa situazione, quindi dovresti studiare la funzione a denominatore e vedere dove si annulla la derivata, studiare crescenza e decrescenza e trovare per quale valore di [tex]\theta[/tex]si raggiunge questo minimo.
La derivata della funzione a denominatore è questa:
[tex][1-2 \rho^2 cos^2(x)]*sin(2x)[/tex]
Alternativamente puoi vedere se esistono e limitate in un intorno del punto le derivate parziali della funzione. o addirittura se esistono e sono continue nel punto.
[edit] straquoto antani, soprattutto la prima soluzione, anche osservando che se $y=0$ o $x=0$, ma mai insieme, la funzione è già $0$, quindi potendo essere sempre diverse da zero entrambe, si può ignorare $x^4$.
Tra l'altro qualche anima pia dev'essersi messa a scrivere meglio il mio post, visto che io l'avevo scritto in fretta senza tutti quei comandi latex per fare le parentesi e le freccie belle 
Scusate il ritardo nella risposta, comunque ho risolto, procedendo per confronto, esattamente come suggerito da antani. Vi ringrazio per i vostri interventi e per il vostro aiuto.
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