Continuità di f(x,y)

[gbspeedy]

devo verificare se qs funzione è continua in $R^2$
$f(x,y)= (xe^(-1/(y^2)))/(x^2+y^2)$ se $y!=0$ e $0$ se $y=0$

distinguo i due casi:

1)$(x_0,0)$ con $x_0!=0$

$lim_((x,y)->(x_0,0)) f(x,y)=lim_((x,y)->(x_0,0)) e^(-1/(y^2))/(x_0)=0$

2) l'origine

$|(xe^(-1/(y^2)))/(x^2+y^2)|>x^2/(x^2+y^2)$

il limite del secondo termine è:
$lim_(r->0^+) (r^2 (costheta)^2)/r^2=(costheta)^2$
e quindi per il teorema del confronto dico che il primo termine non converge a $0$?

[Rigel1]

"gbspeedy":$|(xe^(-1/(y^2)))/(x^2+y^2)|>x^2/(x^2+y^2)$

Da dove salta fuori questa disuguaglianza?
Io piuttosto avrei scritto, per \(y\neq 0\),
\[
\left|\frac{x e^{-1/y^2}}{x^2+y^2}\right| = \left|\frac{2xy}{x^2+y^2}\cdot\frac{e^{-1/y^2}}{2y}\right|
\leq \frac{e^{-1/y^2}}{2 |y|}
\]
e avrei ragionato sul comportamento dell'ultimo termine ottenuto.

[gbspeedy]

"Rigel":[quote="gbspeedy"]$|(xe^(-1/(y^2)))/(x^2+y^2)|>x^2/(x^2+y^2)$

Da dove salta fuori questa disuguaglianza?
Io piuttosto avrei scritto, per \(y\neq 0\),
\[
\left|\frac{x e^{-1/y^2}}{x^2+y^2}\right| = \left|\frac{2xy}{x^2+y^2}\cdot\frac{e^{-1/y^2}}{2y}\right|
\leq \frac{e^{-1/y^2}}{2 |y|}
\]
e avrei ragionato sul comportamento dell'ultimo termine ottenuto.[/quote]

potevo scrivere $|(xe^(-1/(y^2)))/(x^2+y^2)|>|x|/((y^2)(x^2+y^2))$ sapendo che $e^(-x)>(-x)$ per ogni x

[Rigel1]

"gbspeedy":potevo scrivere $|(xe^(-1/(y^2)))/(x^2+y^2)|>|x|/((y^2)(x^2+y^2))$ sapendo che $e^(-x)>(-x)$ per ogni x

Avresti potuto scriverlo, ma sarebbe stato sbagliato
E' vero che, per \(y\neq 0\), \(e^{-1/y^2} > - 1/y^2\), ma da questo non segue che \(|e^{-1/y^2}| > |-1/y^2|\) (che equivale a \(e^{-1/y^2} > 1/y^2\)).

[gbspeedy]

"Rigel":[quote="gbspeedy"]potevo scrivere $|(xe^(-1/(y^2)))/(x^2+y^2)|>|x|/((y^2)(x^2+y^2))$ sapendo che $e^(-x)>(-x)$ per ogni x

Avresti potuto scriverlo, ma sarebbe stato sbagliato
E' vero che, per \(y\neq 0\), \(e^{-1/y^2} > - 1/y^2\), ma da questo non segue che \(|e^{-1/y^2}| > |-1/y^2|\) (che equivale a \(e^{-1/y^2} > 1/y^2\)).[/quote]

e se non metto il modulo e scrivo $(xe^(-1/(y^2)))/(x^2+y^2)> (-x)/((y^2)(x^2+y^2))$ e vedo che il limite della funzione a dx (passando a coordinate polari) è infinito posso dire che la f(x,y) data ha limite infinito?

[Rigel1]

"gbspeedy":e se non metto il modulo e scrivo $(xe^(-1/(y^2)))/(x^2+y^2)> (-x)/((y^2)(x^2+y^2))$ e vedo che il limite della funzione a dx (passando a coordinate polari) è infinito posso dire che la f(x,y) data ha limite infinito?

Ovviamente no: la disuguaglianza che hai scritto vale solo per \(x > 0\) e, in tal caso, il membro destro della disuguaglianza tende a \(-\infty\) quanto \(y\to 0\) (cosa che non ti permette di concludere alcunché sul comportamento del membro sinistro).

Detto questo, visto che con la disuguaglianza che ho scritto nel primo post si dimostra che la funzione è continua nei punti \((x_0, 0)\), (a meno di miei possibili errori) diventa improbabile dimostrare che la funzione tende a infinito in prossimità di quei punti.

[gbspeedy]

se il $lim_((||(x,y)||)->+oo) f(x,y)$ esiste finito vuol dire che la funzione è limitata?

[Rigel1]

Sì, dal momento che è continua in \(\mathbb{R}^2\).

[gbspeedy]

quindi studiando i punti stazionari ho trovato che si annulla sugli assi e assume massimi in $(sqrt(2),sqrt(2)),(sqrt(2),-sqrt(2))$ e dei minimi in $(-sqrt(2),sqrt(2)),(-sqrt(2),-sqrt(2))$

i minimi sono relativi (xchè si annulla sugli assi) mentre i massimi posso dire che sono assoluti per la limitatezza?