Continuità di funzione implicita
Ciao, amici! Trovo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin il seguente teorema:
la cui dimostrazione si può trovare per intero alle pp. 485-486.
Come si può leggere immediatamente sotto la dimostrazione (che non comprendo del tutto, ma questa è un'altra storia), è facile mostrare che se $F$ è continua in $U$ allora $f$ è continua in un intorno di $x_0$.
Mi piacerebbe capire perché è così, ma non riesco proprio a dimostrarlo a me stesso.
Qualcuno, tra chi ha utilizzato questo famoso testo e chi no, potrebbe spiegare perché $f$ è continua in un intorno di $x_0$ se $F$ lo è in $U$?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Come si può leggere immediatamente sotto la dimostrazione (che non comprendo del tutto, ma questa è un'altra storia), è facile mostrare che se $F$ è continua in $U$ allora $f$ è continua in un intorno di $x_0$.
Mi piacerebbe capire perché è così, ma non riesco proprio a dimostrarlo a me stesso.
Qualcuno, tra chi ha utilizzato questo famoso testo e chi no, potrebbe spiegare perché $f$ è continua in un intorno di $x_0$ se $F$ lo è in $U$?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Se servisse a qualcosa vedo, grazie al fatto che il sottoinsieme degli operatori con inverso limitato è aperto in \(\mathscr{L}(Y,Z)\), che esiste un intorno $V$ di \((x_0,y_0)\) tale che per ogni \((x,y)\in V\) esiste l'inverso della derivata \([F_y'(x,y)]^{-1}\in\mathscr{L}(Z,Y)\)...
Se sai che la \(F\) è continua in \(U\), il punto \(x_0\) non ha più niente di speciale, puoi considerare al suo posto un generico punto \(x \in U\) e la dimostrazione della continuità in \(x_0\) nelle ipotesi dell'enunciato continua a valere per tale \(x\). La tesi segue dall'arbitrarietà del punto \(x\).
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