Continuità di funzione di due variabili
Dire se la funzione
f(x, y) = (arctg(x²/(x²+y²)²) se (x, y) ≠ (0,0)
f(x,y) = π/2 se (x, y) = (0,0)
è continua e se ammette limite per (x, y) → ∞ .
Per il teorema ponte si osserva che la funzione non è continua in (0,0), mentre sostituendo le coordinate polari torna che il lim f(x,y) per (x,y)→0 va a π/2, verificando invece la continuità nell'origine.
Ora, la domanda è: quando è lecito usare le coordinate polari???
Grazie.
f(x, y) = (arctg(x²/(x²+y²)²) se (x, y) ≠ (0,0)
f(x,y) = π/2 se (x, y) = (0,0)
è continua e se ammette limite per (x, y) → ∞ .
Per il teorema ponte si osserva che la funzione non è continua in (0,0), mentre sostituendo le coordinate polari torna che il lim f(x,y) per (x,y)→0 va a π/2, verificando invece la continuità nell'origine.
Ora, la domanda è: quando è lecito usare le coordinate polari???
Grazie.
Risposte
A me invece la funzione pare proprio continua nell'origine: l'argomento dell'arcotangente, in qualsiasi modo tu lo voglia guardare, è infinito visto che a denominatore va a zero di ordine 4 mentre a numeratore solo di ordine 2. Non ho capito come usi, qui, il teorema ponte.
"ciampax":
A me invece la funzione pare proprio continua nell'origine: l'argomento dell'arcotangente, in qualsiasi modo tu lo voglia guardare, è infinito visto che a denominatore va a zero di ordine 4 mentre a numeratore solo di ordine 2. Non ho capito come usi, qui, il teorema ponte.
Se prendiamo come sottosuccessione (0,yn), allora otteniamo arctg(0) = 0 ≠ π/2 .
Mmmmmm.... effettivamente lungo l'asse y hai problemi. Sì, non è continua.
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