Continuità di funzione
Ciao a tutti. Sono alle prese con questa funzione:
f: $RR rarr RR
f(x) = 0 se x è irrazionale;
f(x) = 1/n se x = m/n (m e n interi coprimi).
Devo studiarne la continuità, c'è qualcuno che può darmi una mano?
grazie mille!
f: $RR rarr RR
f(x) = 0 se x è irrazionale;
f(x) = 1/n se x = m/n (m e n interi coprimi).
Devo studiarne la continuità, c'è qualcuno che può darmi una mano?
grazie mille!
Risposte
Stai facendo confusione,credo....
Tu prendi un de.... poi devi trovare un e tale che PER OGNI a interno alla palla B(x0,e) valga mod(f(a)-f(x0))
Se vuoi visualizzarlo, presa la palla di centro B(f(x0),de), devi trovare una palla B(x0,e) di modo che l'immagine della seconda palla sia tutta contenuta nella prima...
Cmq non basta che ci siano punti infinitamente vicini ad xo in cui la funzione si annulla per determinare la continuità ....
Tu prendi un de.... poi devi trovare un e tale che PER OGNI a interno alla palla B(x0,e) valga mod(f(a)-f(x0))
Se vuoi visualizzarlo, presa la palla di centro B(f(x0),de), devi trovare una palla B(x0,e) di modo che l'immagine della seconda palla sia tutta contenuta nella prima...
Cmq non basta che ci siano punti infinitamente vicini ad xo in cui la funzione si annulla per determinare la continuità ....
"Thomas":
Se vuoi visualizzarlo, presa la palla di centro B(f(x0),de), devi trovare una palla B(x0,e) di modo che l'immagine della seconda palla sia tutta contenuta nella prima...
esatto!
e' proprio questo il punto....
per ogni e B(x0,e) la sua immagine e' f(x0)=0 e che quindi, essendone il centro, e' ampiamente contenuta in B(f(x0),de)!!!!
ci sei?
era esattamente questo che stavo cercando di dire... perdonami, ma ho appena finito 8 ore di lezione e sto un po' fuso...
(un po' tanto
)NB
quello che ho detto sopra vale solo per gli irrazionali, sui quali bisognava dimostrare la continuita' di f!!!
PS
1) spero di essere stato chiaro stavolta
2) grazie per la pazienza...
"Giusepperoma":
consentimi di dire per prima cosa che il tono del tuo post non mi piace affatto
Il mio non era un "tono" ostile... era semplicemente una battuta. Cmq non scherzavo più di tanto, in quanto estendere il concetto di continuità è un problema già affrontato dai matematici in passato (come Lebesgue ha esteso il concetto di integrale non vedo perché non si potrebbe estendere quello di continuità). Penso tuttavia che partiamo da ipotesi diverse...ecco perché non mi è risultato chiaro quello che hai detto. Che io non lo trovi chiaro non vuol dire che lo trovi sbagliato.
"Giusepperoma":
[quote="Thomas"]Se vuoi visualizzarlo, presa la palla di centro B(f(x0),de), devi trovare una palla B(x0,e) di modo che l'immagine della seconda palla sia tutta contenuta nella prima...
per ogni e B(x0,e) la sua immagine e' f(x0)=0 e che quindi, essendone il centro, e' ampiamente contenuta in B(f(x0),de)!!!!
[/quote]
L'immagine di B(x0,e) non è 0, ma 0 unito una certa quantità (infinita) di 1/n con n molto variabile....
-
2) grazie per la pazienza...
figurati!
"Thomas":
[quote="Giusepperoma"][quote="Thomas"]Se vuoi visualizzarlo, presa la palla di centro B(f(x0),de), devi trovare una palla B(x0,e) di modo che l'immagine della seconda palla sia tutta contenuta nella prima...
per ogni e B(x0,e) la sua immagine e' f(x0)=0 e che quindi, essendone il centro, e' ampiamente contenuta in B(f(x0),de)!!!!
[/quote]
L'immagine di B(x0,e) non è 0, ma 0 unito una certa quantità (infinita) di 1/n con n molto variabile....
[/quote]
attenzione...
sto parlando degli irrazionali....
dovevamo dimostrare che f " e' continua sugli irrazionali" non lo dico io, lo dice il problema d'esame di bernoulli...
ed e' vero che tutti gli irrazionali nella palla B(x0,e) vengono mandati nel centro dell'altra palla, no?
Le definizioni (equivalenti) di continuità si riferiscono alla continuità IN UN PUNTO (anche l'ultima che abbiamo dato!)...
una funzione si dice continua in un insieme sse è continua in ogni suo punto... non puoi verificare in quel modo che la funzione è continua su ogni irrazionale! Pensa se la funzione fosse uno sui razionali... Il tuo ragionamento sarebbe equivalente ma il limite destro e sinistro non esistono!!
Le definizioni di continuità sono equivalenti... devono esistere i due limiti e la funzione in quel punto... (altra definizione di continuità equivalente su R)
e questo problema si può risolvere con qualsiasi definizione: io ho usato la continuità per successione, che sul R và più che bene...
una funzione si dice continua in un insieme sse è continua in ogni suo punto... non puoi verificare in quel modo che la funzione è continua su ogni irrazionale! Pensa se la funzione fosse uno sui razionali... Il tuo ragionamento sarebbe equivalente ma il limite destro e sinistro non esistono!!
Le definizioni di continuità sono equivalenti... devono esistere i due limiti e la funzione in quel punto... (altra definizione di continuità equivalente su R)
e questo problema si può risolvere con qualsiasi definizione: io ho usato la continuità per successione, che sul R và più che bene...
"bernoulli":
quello che devo dimostrare è che:
la funzione f(x) (detta di Riemann) è discontinua nei punti razionali e continua nei punti irrazionali.
Mi sta facendo impazzire, questa dimostrazione... comunque grazie!
Come vedi, non lo dico io, ma un professore universitario... titolare di una cattedra... non un fesso qualunque no?
una volta fatta questa considerazione mi sono detto: "vuoi vedere che siamo stati tutti un po' troppo prtecipitosi e superficiali?"
e a partire dalla definizione di continuita' (che per qualche oscuro motivo continuavo a scrivere al contrario
)sono arrivato a quello che ho postato sopra...
tutto questo per dire che la funzione e' continua sugli irrazionali, non lo dico io, ma e' un dato di fatto che io ho solo dimostrato... (o almeno credo di averlo fatto)
quello che ti sta traendo in inganno e' il fatto che te la immagini spezzettata....
comunque e' chiaro che non e' continua ne' su R, ne' su Q!, ma lo e' su I=R\Q il che' che e' veramente antiintuitivo... ne convengo, ma se la matematica non e' un opinione...
"Thomas":
Bello! Provo a farlo con le successioni:
LEMMA (noto): $f(x)$ è continua in $x_0$ sse per ogni successione $x_K$ convergente a $x_0$, $f(x_k)$ converge a $f(x_0).
La funzione è continua sugli irrazionali...
dim: Preso $i$ irrazionale, si deve fare vedere che se $x_K->i$, $f(X_K)->f(i)=0$, ovvero che: per ogni $n_0$ naturale, esiste $e$ reale positivo t.c. nella palla di centro $i$ e raggio $e$ cadano solo razionali del tipo $m/n$ con $n>n_0$ e $(m,n)=1$.
Per fare questo si prendano tutte le frazioni del tipo $(N)/m$ ove $(N)$ è un numero naturale qualsiasi e $1<=m<=n_0$. E' facile verificare che fra queste ne esiste uno più vicina di tutti ad I, chiamiamo $e'$ questa distanza da I. Per costruzione $B(I,e')$ contiene solo razionali con denominatore $>n_0$....
La funzione non è continua sui razionali...
dim: basta prendere una successione di irrazionali che converge al $q$ razionale generico...
Scusa ma mi sembra di avere dimsotrato che è continua negli irrazionali e discontinua nei razionali (quoto il mio primo post, visto che pare ti sia sfuggito) !! Chi lo nega??? Ne sono anzi convinto...
Io ho dei dubbi sulla tua dimostrazione (te li ho espressi sopra quali), non sulla tesi !!!
SI... MI ERA SFUGGITO... CHIEDO VENIA!
Non ho letto tutti i vostri post, comunque ,sperando che sia d’aiuto, riporto la dimostrazione del mio libro.
Cambio le lettere della funzione, cioè sia
f(x) = 0 se x irrazionale , f(x) = 1/q se x è il razionale p/q
Sia x0 un punto qualsiasi ( di ascissa razionale o irrazionale) e sia n un numero intero positivo fissato. Costruiamo degli insiemi di numeri razionali I(1), I(2),…,I(h),…,I(n) dove I(h) è definito nel modo seguente:
I(h) = { x : x = m/h con m e h primi tra loro}
Fra i numeri della classe I(1) indichiamo con m’(1) il massimo tra quelli che sono minori di x0 e con m’’(1) il minimo tra quelli che sono maggiori di x0. In modo analogo indicheremo m’(2) e m’’(2) per la classe I(2) e cosi’ via fino alla classe I(n).
Indichiamo poi con s’(n) il massimo tra m’(1), m’(2),…,m’(n) e con s’’(n) il minimo tra m’’(1),…,m’’(n). Risulta allora che l’intervallo ( s’(n) , s’’(n) ) conterrà x0 , inoltre tutti i numeri razionali che cadono in esso avranno denominatore q > n (escluso al più x0 ).
Preso allora un epslon > 0 fissiamo un n tale che n > 1/ epslon e procediamo alla costruzione di cui sopra in modo da pervenire all’individuazione di un intorno ( s’(n) , s’’(n) ) di x0.
Fra i punti di tale intorno (diversi da x0) ce ne saranno infiniti di ascissa razionale p/q ( con q > n), in cui f vale 1/q , ed infiniti di ascissa irrazionale in cui f vale 0.
Avremo quindi in un intorno ( s’(n) , s’’(n) ) di x0 ( x0 al più escluso) che
f(x) = 1/q < 1/n < epslon sui punti di ascissa razionale
f(x) = 0 sui punti di ascissa irrazionale
per cui sarà per ogni x di ( s’(n) , s’’(n) ) –x0
0 <= f(x) < epsoln da cui segue che
lim f(x) = 0 quale che sia x0
x->x0
Risulta allora
lim f(x) = 0 = f(x0) se x0 è irrazionale
x->x0
lim f(x) = 0 diverso da f(x0) se x0 è razionale
x->x0
e quindi, per definizione di continuità , f è continua nei punti irrazionali e discontinua in quelli razionali.
Cambio le lettere della funzione, cioè sia
f(x) = 0 se x irrazionale , f(x) = 1/q se x è il razionale p/q
Sia x0 un punto qualsiasi ( di ascissa razionale o irrazionale) e sia n un numero intero positivo fissato. Costruiamo degli insiemi di numeri razionali I(1), I(2),…,I(h),…,I(n) dove I(h) è definito nel modo seguente:
I(h) = { x : x = m/h con m e h primi tra loro}
Fra i numeri della classe I(1) indichiamo con m’(1) il massimo tra quelli che sono minori di x0 e con m’’(1) il minimo tra quelli che sono maggiori di x0. In modo analogo indicheremo m’(2) e m’’(2) per la classe I(2) e cosi’ via fino alla classe I(n).
Indichiamo poi con s’(n) il massimo tra m’(1), m’(2),…,m’(n) e con s’’(n) il minimo tra m’’(1),…,m’’(n). Risulta allora che l’intervallo ( s’(n) , s’’(n) ) conterrà x0 , inoltre tutti i numeri razionali che cadono in esso avranno denominatore q > n (escluso al più x0 ).
Preso allora un epslon > 0 fissiamo un n tale che n > 1/ epslon e procediamo alla costruzione di cui sopra in modo da pervenire all’individuazione di un intorno ( s’(n) , s’’(n) ) di x0.
Fra i punti di tale intorno (diversi da x0) ce ne saranno infiniti di ascissa razionale p/q ( con q > n), in cui f vale 1/q , ed infiniti di ascissa irrazionale in cui f vale 0.
Avremo quindi in un intorno ( s’(n) , s’’(n) ) di x0 ( x0 al più escluso) che
f(x) = 1/q < 1/n < epslon sui punti di ascissa razionale
f(x) = 0 sui punti di ascissa irrazionale
per cui sarà per ogni x di ( s’(n) , s’’(n) ) –x0
0 <= f(x) < epsoln da cui segue che
lim f(x) = 0 quale che sia x0
x->x0
Risulta allora
lim f(x) = 0 = f(x0) se x0 è irrazionale
x->x0
lim f(x) = 0 diverso da f(x0) se x0 è razionale
x->x0
e quindi, per definizione di continuità , f è continua nei punti irrazionali e discontinua in quelli razionali.
..sono stato via un paio di giorni e.. cosa mi sono perso! siete stati gentilissimi, grazie davvero. ho trovato anch'io una dimostrazione simile a quella di Piera. Non ho ancora idea di cosa sia una palla, però ora mi è chiaro perché mai la funzione è continua sugli irrazionali. alla fine basta considerare gli intorni di questi punti ed estendere il tutto a R\Q..grazie mille!! evviva i problemi (e le soluzioni )!!
)!!
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