Continuità di funzione
Ciao a tutti. Sono alle prese con questa funzione:
f: $RR rarr RR
f(x) = 0 se x è irrazionale;
f(x) = 1/n se x = m/n (m e n interi coprimi).
Devo studiarne la continuità, c'è qualcuno che può darmi una mano?
grazie mille!
f: $RR rarr RR
f(x) = 0 se x è irrazionale;
f(x) = 1/n se x = m/n (m e n interi coprimi).
Devo studiarne la continuità, c'è qualcuno che può darmi una mano?
grazie mille!
Risposte
Questa funzione è discontinua in ogni punto e coincide quasi ovunque in R con la funzione identicamente nulla, poiché i punti dove si annulla sono di un infinito di ordine superiore a quello dei punti dove non si annulla.
..ok, grazie. Ma non è continua nei punti irrazionali?
no!
dati due irrazionali c'e' sempre un razionale intermedio!
Quindi la funzione e' discontinua ovunque e nulla quasi ovunque
("quasi ovunque" = eccetto che in un'infinita' numerabile di punti - e i razionali sono appunto numerabili!)
dati due irrazionali c'e' sempre un razionale intermedio!
Quindi la funzione e' discontinua ovunque e nulla quasi ovunque
("quasi ovunque" = eccetto che in un'infinita' numerabile di punti - e i razionali sono appunto numerabili!)
..ho appena trovato un suggerimento. Questa è la funzione di Riemann, definita come funzione discontinua per i razionali e continua per gli irrazionali..
giusepperoma ti ha esaurientemente spiegato quello che ti avevo accennato
piccola divagazione: questo genere di funzioni è strettamente legato al concetto di integrazione secondo Lebesgue
piccola divagazione: questo genere di funzioni è strettamente legato al concetto di integrazione secondo Lebesgue
"Kroldar":
giusepperoma ti ha esaurientemente spiegato quello che ti avevo accennato
piccola divagazione: questo genere di funzioni è strettamente legato al concetto di integrazione secondo Lebesgue
infatti, non sottende nessuna area e non è Riemann-integrabile
e dato che:
continuità -> integrabilità
non integrabilità -> non continuità
Sì ma... non voglio sembrare insistente.. quello che devo dimostrare è che:
la funzione f(x) (detta di Riemann) è discontinua nei punti razionali e continua nei punti irrazionali.
Mi sta facendo impazzire, questa dimostrazione... comunque grazie!
la funzione f(x) (detta di Riemann) è discontinua nei punti razionali e continua nei punti irrazionali.
Mi sta facendo impazzire, questa dimostrazione... comunque grazie!
FORSE CI SONO!
ascoltatemi (anzi, leggetemi ) e ditemi che ve ne pare!!
Partendo dal presupposto che il professore di "bernoulli" non sia pazzo... resta una sola possibilita': siamo stati troppo frettolosi (me per primo!) e superficiali.
proviamo a partire dalla definizione di continuita'!
[scrivo in forma discorsiva, senza utilizzare formule perche' non posso installare il mathcoso su questo computer...]
f(x) e' continua in x0 se, preso un punto a in un intorno di x0 piccolo a piacere, esiste un punto f(a) la cui distanza da
f(x0) sia piccolo a piacere
ma... se x0 e' irrazionale
- f(x0) = 0 per ipotesi
- comunque si prenda un intorno di x0 esiste un punto a irrazionale appartenente all'intorno e tale che f(a)=0 quindi vicino quanto si vuole ad f(x0)
quindi f e' continua sugli irrazionali q.d.e.
Ma la stessa cosa non si puo' fare per tutti i valori razionali perche' (e questo mi era suggito ad una prima lettura del testo) su Q la f(x) vale 1/n dove n e' il denominatore di x!!!!
vi torna o sono uscito di senno assieme al professore di "bernoulli"?
PS
mi rendo conto che il risultato sembra paradossale, credo che il prof ci si sia divertito un mondo...
ascoltatemi (anzi, leggetemi
) e ditemi che ve ne pare!!Partendo dal presupposto che il professore di "bernoulli" non sia pazzo... resta una sola possibilita': siamo stati troppo frettolosi (me per primo!) e superficiali.
proviamo a partire dalla definizione di continuita'!
[scrivo in forma discorsiva, senza utilizzare formule perche' non posso installare il mathcoso su questo computer...]
f(x) e' continua in x0 se, preso un punto a in un intorno di x0 piccolo a piacere, esiste un punto f(a) la cui distanza da
f(x0) sia piccolo a piacere
ma... se x0 e' irrazionale
- f(x0) = 0 per ipotesi
- comunque si prenda un intorno di x0 esiste un punto a irrazionale appartenente all'intorno e tale che f(a)=0 quindi vicino quanto si vuole ad f(x0)
quindi f e' continua sugli irrazionali q.d.e.
Ma la stessa cosa non si puo' fare per tutti i valori razionali perche' (e questo mi era suggito ad una prima lettura del testo) su Q la f(x) vale 1/n dove n e' il denominatore di x!!!!
vi torna o sono uscito di senno assieme al professore di "bernoulli"?
PS
mi rendo conto che il risultato sembra paradossale, credo che il prof ci si sia divertito un mondo...
Scusami ma non ho capito qualche parte del ragionamento... inoltre non vedo alcun accenno di rigorosità: la suddetta funzione non è regolare... come fa ad essere continua? come fai a fare il limite per x che tende a $x_(0)$ da destra e da sinistra e verificare che i due limiti coincidono?
"Giusepperoma":
FORSE CI SONO!
f(x) e' continua in x0 se, preso un punto a in un intorno di x0 piccolo a piacere, esiste un punto f(a) la cui distanza da
f(x0) sia piccolo a piacere
ma... se x0 e' irrazionale
- f(x0) = 0 per ipotesi
- comunque si prenda un intorno di x0 esiste un punto a irrazionale appartenente all'intorno e tale che f(a)=0 quindi vicino quanto si vuole ad f(x0)
quindi f e' continua sugli irrazionali q.d.e.
Se sei così convinto della tua tesi (che come ti ho già detto non mi è affatto chiara) prova a contattare un'importante comunità di matematici e fallo presente... magari darai una svolta all'analisi infinitesimale
Bello! Provo a farlo con le successioni:
LEMMA (noto): $f(x)$ è continua in $x_0$ sse per ogni successione $x_K$ convergente a $x_0$, $f(x_k)$ converge a $f(x_0).
La funzione è continua sugli irrazionali...
dim: Preso $i$ irrazionale, si deve fare vedere che se $x_K->i$, $f(X_K)->f(i)=0$, ovvero che: per ogni $n_0$ naturale, esiste $e$ reale positivo t.c. nella palla di centro $i$ e raggio $e$ cadano solo razionali del tipo $m/n$ con $n>n_0$ e $(m,n)=1$.
Per fare questo si prendano tutte le frazioni del tipo $(N)/m$ ove $(N)$ è un numero naturale qualsiasi e $1<=m<=n_0$. E' facile verificare che fra queste ne esiste uno più vicina di tutti ad I, chiamiamo $e'$ questa distanza da I. Per costruzione $B(I,e')$ contiene solo razionali con denominatore $>n_0$....
La funzione non è continua sui razionali...
dim: basta prendere una successione di irrazionali che converge al $q$ razionale generico...
LEMMA (noto): $f(x)$ è continua in $x_0$ sse per ogni successione $x_K$ convergente a $x_0$, $f(x_k)$ converge a $f(x_0).
La funzione è continua sugli irrazionali...
dim: Preso $i$ irrazionale, si deve fare vedere che se $x_K->i$, $f(X_K)->f(i)=0$, ovvero che: per ogni $n_0$ naturale, esiste $e$ reale positivo t.c. nella palla di centro $i$ e raggio $e$ cadano solo razionali del tipo $m/n$ con $n>n_0$ e $(m,n)=1$.
Per fare questo si prendano tutte le frazioni del tipo $(N)/m$ ove $(N)$ è un numero naturale qualsiasi e $1<=m<=n_0$. E' facile verificare che fra queste ne esiste uno più vicina di tutti ad I, chiamiamo $e'$ questa distanza da I. Per costruzione $B(I,e')$ contiene solo razionali con denominatore $>n_0$....
La funzione non è continua sui razionali...
dim: basta prendere una successione di irrazionali che converge al $q$ razionale generico...
Nel frattempo rilancio:
Trovare una funzione derivabile in un punto ma non continua in un intorno di quel punto....
ps: sconcertante! Si deduce che una funzione può essere derivabile in un punto e non in un intorno di quel punto!
Trovare una funzione derivabile in un punto ma non continua in un intorno di quel punto....
ps: sconcertante! Si deduce che una funzione può essere derivabile in un punto e non in un intorno di quel punto!
"Giusepperoma":
f(x) e' continua in x0 se, preso un punto a in un intorno di x0 piccolo a piacere, esiste un punto f(a) la cui distanza da
f(x0) sia piccolo a piacere
mmm... non si capisce, se prendo a, la distanza da f(x0) è fissa, come fà ad essere "piccola a piacere"????
Forse vuoi dire che scegli a fissato e??? Ma se anche trovassi un tale a, cosa garantisce che non esistano b più vicini ad x0 di a che però abbiano f(b)>f(a)???
Cosa c'è che non capisco????
no, scusa, e' vero non sono stato chiaro, mea culpa...
preso un epsilon piccolo a piacere prendo un a in un intorno x0-epsilon, x0+epsilon. Esiste un deltaepsilon tale che |f(x0)-f(a)|
meglio?
preso un epsilon piccolo a piacere prendo un a in un intorno x0-epsilon, x0+epsilon. Esiste un deltaepsilon tale che |f(x0)-f(a)|
meglio?
"Kroldar":
Se sei così convinto della tua tesi (che come ti ho già detto non mi è affatto chiara) prova a contattare un'importante comunità di matematici e fallo presente... magari darai una svolta all'analisi infinitesimale
consentimi di dire per prima cosa che il tono del tuo post non mi piace affatto, poi ci deve essere un equivoco... io ho solo cercato di analizzare meglio un quesito che a prima vista avevo risolto come tutti gli altri...
venuto poi a sapere del contesto in cui era stato proposto ho pensato meritassa maggiore attenzione...
ho semplicemente applicato la definizione, senza pretendere di dare svolte all'analisi....
posso aver sbagliato? certo, non lo nego, parliamone...
"Giusepperoma":
no, scusa, e' vero non sono stato chiaro, mea culpa...
preso un epsilon piccolo a piacere prendo un a in un intorno x0-epsilon, x0+epsilon. Esiste un deltaepsilon tale che |f(x0)-f(a)|
meglio?
Sono duro, lo sò.... ma ancora non capisco la tua definizione di continuità in un punto...
Secondo quanto ho capito:
- prendo $e$, piccolo a piacere, ma lo fisso;
- prendo un $a$ nella palla $B(x_0,e)$;
ora passiamo nell'immagine: devo trovare un deltaepsilon, che chiamo $de$ per cui valga $mod(f(x_0)-f(a))
Basta prendere $de>mod(f(x_0)-f(a))"$, se non ho altre limitazioni... Ma non vedo la continuità? non è che potresti esprimere la tua definizione formalmente con gli opportuni quantificatori che altrimenti non ci si intende? Non che io sia un patito del rigore, però potrebbe essermi utile per farmi capire...
-----
Poi la tua sol mi lascia qualche perplessità.... anche non avendo capito la definizione, mi pare che per determinare il comportamento della funzione vicino agli irrazionali non consideri i valori che la funzione assume sui razionali, densi in R e quindi rilevanti...
la scrivo come si legge, ok? tu magari trascrivila in simboli...
f(x) e' continua in x0 se
per ogni e>0 esiste un de>o tale che se |x0-a|
cioe' il de dipende da e non da a!
f(x) e' continua in x0 se
per ogni e>0 esiste un de>o tale che se |x0-a|
cioe' il de dipende da e non da a!
Secondo me è sbagliata (e poi non capisco come la vorresti applicare)... per ogni de esiste un e, e poi tutto funzia, o no????
Per come la dici tu, basta prendere de > sup(mod(f(x)-f(x0)) con x che appartiene alla palla di centro xo e raggio e: in questo modo se esiste un discontinuità di tipo "salto" come la individui???
....
Per come la dici tu, basta prendere de > sup(mod(f(x)-f(x0)) con x che appartiene alla palla di centro xo e raggio e: in questo modo se esiste un discontinuità di tipo "salto" come la individui???
....
si...
e' vero... ho scritto al contrario...
comunque l'idea era giusta, mi pare, o no?
f(x)=0 su R\Q
quindi comunque prendi un de trovi sempre un f(a) in un intorno (di raggio de) di f(x0) e, per la densita' degli irrazionali in R, sicuramente a appartiene ad un intorno (di raggio e) di x0.
e' vero... ho scritto al contrario...
comunque l'idea era giusta, mi pare, o no?
f(x)=0 su R\Q
quindi comunque prendi un de trovi sempre un f(a) in un intorno (di raggio de) di f(x0) e, per la densita' degli irrazionali in R, sicuramente a appartiene ad un intorno (di raggio e) di x0.
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