Continuità, derivabilità e differenziabilità funzioni di due variabili
Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio. Dovrei stabilire la continuità, la derivabilità e la differenziabilità della seguente funzione di due variabili:
$f(x,y)=$\begin{cases}\frac{arctg(x^3-y^3)}{x^2+y^2}\mbox{ se }(x,y)\neq (0,0)\\ 0\mbox{ se }(x,y)=(0,0)\end{cases}
Per quanto riguarda la continuità non dovrebbero esserci dubbi: calcolando il limite per $ (x,y) -> (0,0) $ di $ f(x,y) $, tale limite viene 0 e dunque la funzione è continua nell'origine. Per quanto riguarda la derivabilità, devo stabilire se è derivabile nell'origine (negli altri punti del dominio è derivabile perché composizione di funzioni derivabili) e mi viene che la derivata parziale rispetto ad x è 1, e rispetto ad y è -1. Le derivate esistono e sono continue, dunque per il teorema del differenziale totale, la funzione è differenziabile in (0,0). Se applico però la definizione di differenziabilità e calcolo il seguente limite
$\lim_{(h, k)\to (0, 0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k )-f(x_0, y_0)-f_x(x_0, y_0) h- f_y(x_0, y_0)k }{\sqrt{h^2+k^2}}$
applicando il metodo delle rette, sostituendo $ k=mh$, ottengo
$ (m( 1-m)) / ( sqrt ( 1 + m^2) ) $ e non 0, dunque mi viene che la funzione non è differenziabile nell'origine. Qualcuno sa dirmi perché? Forse non posso applicare il teorema del differenziale totale?
Grazie in anticipo!
$f(x,y)=$\begin{cases}\frac{arctg(x^3-y^3)}{x^2+y^2}\mbox{ se }(x,y)\neq (0,0)\\ 0\mbox{ se }(x,y)=(0,0)\end{cases}
Per quanto riguarda la continuità non dovrebbero esserci dubbi: calcolando il limite per $ (x,y) -> (0,0) $ di $ f(x,y) $, tale limite viene 0 e dunque la funzione è continua nell'origine. Per quanto riguarda la derivabilità, devo stabilire se è derivabile nell'origine (negli altri punti del dominio è derivabile perché composizione di funzioni derivabili) e mi viene che la derivata parziale rispetto ad x è 1, e rispetto ad y è -1. Le derivate esistono e sono continue, dunque per il teorema del differenziale totale, la funzione è differenziabile in (0,0). Se applico però la definizione di differenziabilità e calcolo il seguente limite
$\lim_{(h, k)\to (0, 0)}\frac{f(x_0+h,y_0+k )-f(x_0, y_0)-f_x(x_0, y_0) h- f_y(x_0, y_0)k }{\sqrt{h^2+k^2}}$
applicando il metodo delle rette, sostituendo $ k=mh$, ottengo
$ (m( 1-m)) / ( sqrt ( 1 + m^2) ) $ e non 0, dunque mi viene che la funzione non è differenziabile nell'origine. Qualcuno sa dirmi perché? Forse non posso applicare il teorema del differenziale totale?
Grazie in anticipo!
Risposte
La derivata parziale rispetto a $x$ è $1$? Potresti scriverci i calcoli?
"billyballo2123":
La derivata parziale rispetto a $x$ è $1$? Potresti scriverci i calcoli?
$ f_x(x_0, y_0)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h, y_0)-f(x_0, y_0)}{h} $
$ f(0+h, 0)= f(h, 0)= \frac{\arctan(h^3)}{h^2} $
$ f(0, 0)=0 $
$ \lim_{h\to 0}\frac{\frac{\arctan(h^3)}{h^2}}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{\arctan(h^3)}{h^3}= 1 $
Il limite esiste ed è finito, quindi $ f_x(0, 0)=1 $
Giusto?
Sì ma così dimostri solo che $f_x(0,0)=1$, non che la derivata rispetto a $x$ è uno ovunque; e infatti da questo calcolo non puoi dedurre che le derivate sono continue.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo