Continuità, derivabilità e differenziabilità funzione
Buona sera vorrei un una vostra correzione qualora avessi fatto considerazioni errate e un piccolo aiuto sulla differenziabilità.
Devo studiare in (0,0) la continuità, la derivabilità e la differenziabilità della funzione:
$ f(x,y)={ ( (sqrt(abs(x))y^2)/(x^2+y^2) (x,y)!= (0,0)),( 0 (x,y)=(0,0) ):} $
Inizio con la continuità:
Verifico il limite $ lim_((x,y) -> (0,0))f(x,y)$
$ lim_(x->0)(sqrt(abs(x))(mx)^2)/(x^2+(mx)^2)=0 $
0 é il mio candidato, passo in coordinate polari
$ lim_(rho ->0)(sqrt(abs(rhocos(theta)))(rhosen(theta))^2)/(rho^2)=0 $
Dunque la funzione é continua nel punto (0,0)
Adesso verifico la derivabilità calcolando le derivate parziali:
$ f_x(x,y)=(y^2*(x(x^2+y^2))/(2sqrt(abs(x)^3))-(sqrt(abs(x))2x))/(x^2+y^2)^2 $
$ f_y(x,y)=((sqrt(abs(x))(2y(x^2+y^2))-2y^3))/(x^2+y^2)^2 $
Visti i denominatori le derivate non sono definite per x=0 e y=0 quindi in (0,0) la funzione non é derivabile
Per la differenziabilità ho qualche difficoltà (ammesso di non aver commesso svarioni anche nei precedenti punti)
Controllo se esistono le derivate parziali nel punto (0,0)
$ f_x(0,0)=lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h=0 $
$ f_y(0,0)=lim_(k->0)(f(0,k)-f(0,0))/k=0 $
E se:
$ lim_((x,y) -> (0,0))(f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2)) $ $ =0 $
Ovvero
$ lim_((x,y) -> (0,0))(sqrt(abs(h))k^2)/sqrt((h^2+k^2)^3) $
Dunque
$ lim_(h -> 0)(sqrt(abs(h))(mh)^2)/sqrt((h^2+(mh)^2)^3) $
Ho detto qualche stupidaggine? Come devo continuare o cosa ho sbagliato?
Devo studiare in (0,0) la continuità, la derivabilità e la differenziabilità della funzione:
$ f(x,y)={ ( (sqrt(abs(x))y^2)/(x^2+y^2) (x,y)!= (0,0)),( 0 (x,y)=(0,0) ):} $
Inizio con la continuità:
Verifico il limite $ lim_((x,y) -> (0,0))f(x,y)$
$ lim_(x->0)(sqrt(abs(x))(mx)^2)/(x^2+(mx)^2)=0 $
0 é il mio candidato, passo in coordinate polari
$ lim_(rho ->0)(sqrt(abs(rhocos(theta)))(rhosen(theta))^2)/(rho^2)=0 $
Dunque la funzione é continua nel punto (0,0)
Adesso verifico la derivabilità calcolando le derivate parziali:
$ f_x(x,y)=(y^2*(x(x^2+y^2))/(2sqrt(abs(x)^3))-(sqrt(abs(x))2x))/(x^2+y^2)^2 $
$ f_y(x,y)=((sqrt(abs(x))(2y(x^2+y^2))-2y^3))/(x^2+y^2)^2 $
Visti i denominatori le derivate non sono definite per x=0 e y=0 quindi in (0,0) la funzione non é derivabile
Per la differenziabilità ho qualche difficoltà (ammesso di non aver commesso svarioni anche nei precedenti punti)
Controllo se esistono le derivate parziali nel punto (0,0)
$ f_x(0,0)=lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h=0 $
$ f_y(0,0)=lim_(k->0)(f(0,k)-f(0,0))/k=0 $
E se:
$ lim_((x,y) -> (0,0))(f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k)/(sqrt(h^2+k^2)) $ $ =0 $
Ovvero
$ lim_((x,y) -> (0,0))(sqrt(abs(h))k^2)/sqrt((h^2+k^2)^3) $
Dunque
$ lim_(h -> 0)(sqrt(abs(h))(mh)^2)/sqrt((h^2+(mh)^2)^3) $
Ho detto qualche stupidaggine? Come devo continuare o cosa ho sbagliato?
Risposte
l'ultimo limite fa più infinito quindi hai trovato che lungo le rette $mh$ il limite per provare la differenziabilità non esiste finito quindi la funzione non è differenziabile, fine.
In ogni caso non è vero che la funzione non è derivabile nell'origine, visto che le derivate nell'origine valgono entrambe zero.
In ogni caso non è vero che la funzione non è derivabile nell'origine, visto che le derivate nell'origine valgono entrambe zero.
Se la derivata ha a denominatore $ (x^2+y^2)^2 $
per x=0 e y=0 la funzione non é definita dato che il denominatore é nullo... O sbaglio? Dunque non essendo definita in tutto $ R^2 $ la funzione non é derivabile in ogni suo punto e dunque alla domanda "é derivabile" rispondo no. interpreto male il teorema?
Come faccio ad affermare che l'ultimo limite fa +∞? Wolfram dice non esiste.
Infine i calcoli e il ragionamento sulla continuità é corretto?
per x=0 e y=0 la funzione non é definita dato che il denominatore é nullo... O sbaglio? Dunque non essendo definita in tutto $ R^2 $ la funzione non é derivabile in ogni suo punto e dunque alla domanda "é derivabile" rispondo no. interpreto male il teorema?
Come faccio ad affermare che l'ultimo limite fa +∞? Wolfram dice non esiste.
Infine i calcoli e il ragionamento sulla continuità é corretto?
Allora per la continuità i conti sono corretti, però riguardo al ragionamento attento che quando passi in coordinate polari devi dimostrare il limite uniformemente rispetto a $\rho$ che vuol dire che formalmente avresti prima dovuto maggiorare quel limite così:
$$
\frac{\sqrt{\rho\cos\theta}\rho^2\sin^2\theta}{\rho^2}\leq \frac{\sqrt{\rho}\rho^2}{\rho^2}=\sqrt{\rho}\to 0
$$
ovvero trovare una funzione che dipende solo da $\rho$ e che tende a zero.
Inoltre sapevi già che il tuo candidato limite era $zero$ era nella definizione della funzione, quindi non c'era bisogno di cercare nuovamente un candidato.
Io parlo dell'ULTIMO limite che hai scritto non del penultimo limite, l'ultimo limite che hai scritto è un limite di una variabile si vede subito che è più infinito.
Quindi lungo le rette il penultimo limite vale più infinito che chiaramente non è zero ... quindi esistono dei percorsi lungo i quali il limite per provare la differenziabilità non è nullo e questo prova la non differenziabilità, poi io non so se il limite non esiste, ma non ti interessa saperlo, ti interessa solo sapere che lungo qualche percorso non è zero fine.
Eh no perché sei riuscito a calcolare le derivate parziali con la definizione e questo è sufficiente per dire che la funzione è derivabile nell'origine.
Poi in realtà è derivabile in tutto il piano, salvo forse l'asse $x=0$ che dovrei verificarlo con dei conti.
$$
\frac{\sqrt{\rho\cos\theta}\rho^2\sin^2\theta}{\rho^2}\leq \frac{\sqrt{\rho}\rho^2}{\rho^2}=\sqrt{\rho}\to 0
$$
ovvero trovare una funzione che dipende solo da $\rho$ e che tende a zero.
Inoltre sapevi già che il tuo candidato limite era $zero$ era nella definizione della funzione, quindi non c'era bisogno di cercare nuovamente un candidato.
Io parlo dell'ULTIMO limite che hai scritto non del penultimo limite, l'ultimo limite che hai scritto è un limite di una variabile si vede subito che è più infinito.
Quindi lungo le rette il penultimo limite vale più infinito che chiaramente non è zero ... quindi esistono dei percorsi lungo i quali il limite per provare la differenziabilità non è nullo e questo prova la non differenziabilità, poi io non so se il limite non esiste, ma non ti interessa saperlo, ti interessa solo sapere che lungo qualche percorso non è zero fine.
Eh no perché sei riuscito a calcolare le derivate parziali con la definizione e questo è sufficiente per dire che la funzione è derivabile nell'origine.
Poi in realtà è derivabile in tutto il piano, salvo forse l'asse $x=0$ che dovrei verificarlo con dei conti.
"Bossmer":
Io parlo dell'ULTIMO limite che hai scritto non del penultimo limite, l'ultimo limite che hai scritto è un limite di una variabile si vede subito che è più infinito.
Quindi lungo le rette il penultimo limite vale più infinito che chiaramente non è zero ... quindi esistono dei percorsi lungo i quali il limite per provare la differenziabilità non è nullo e questo prova la non differenziabilità, poi io non so se il limite non esiste, ma non ti interessa saperlo, ti interessa solo sapere che lungo qualche percorso non è zero fine.
Grazie mille per la risposta, a questo punto vorrei solo avere conferma che al di la del corretto svolgimento del limite tutto il ragionamento fatto per arrivare a quel limite per lo studio della differenziabilità fosse corretto.
Grazie ancora
AGGIUNGO
il testo mi chiedeva se la funzione era derivabile in (0,0) se sostituisco però alle derivate parziali x=0 e y=0 le derivate perdono di significato avendo denominatore nullo. Quindi sbagliato a dire che non é derivabile in (0,0)?
Allora fino alla continuità il ragionamento è corretto (a patto che tu abbia capito come si svolge il limite per sostituzione in coordinate polari).
Sulla derivabilità il ragionamento è errato.
mentre sulla differenziabilità il ragionamento è corretto.
la funzione è derivabile nell'origine! se non fosse derivabile non sarebbe esistito alcun gradiente, e avresti IMMEDIATAMENTE concluso che la funzione non poteva essere differenziabile SENZA SVOLGERE ALCUN LIMITE infatti vi è un teorema che afferma che "l'esistenza di tutte le derivate parziali è condizione NECESSARIA per la differenziabilità di una funzione" se tu dici che la funzione non è derivabile allora per forza non è differenziabile!
ma questo non è il tuo caso perché la funzione è derivabile, perché con la definizione di derivata tu giungi a un numero finito, nel tuo caso zero.
Ora tu ti chiederai, ma le funzioni "derivata parziale" che ho ottenuto con le regole del calcolo perdono di senso nell'origine, come mai invece il limite calcolato con la definizione esiste finito? beh ci sono due possibilità la prima è che le derivate parziali non siano continue nell'origine pur esistendo ( che è il tuo caso infatti per un altro teorema se fossero continue nell'origine allora la tua funzione sarebbe per forza differenziabile nell'origine) oppure possono essere continue nel punto anche se la funzione "derivata parziale" non è definita nell'origine e questo succede quando i limite della derivata parziale che tende al punto di "non definizione" esiste finito(ma questo non è il tuo caso).
In ogni caso ti consiglio di riguardarti i teoremi sulla differenziabilità delle funzioni a più variabili.
Sulla derivabilità il ragionamento è errato.
mentre sulla differenziabilità il ragionamento è corretto.
la funzione è derivabile nell'origine! se non fosse derivabile non sarebbe esistito alcun gradiente, e avresti IMMEDIATAMENTE concluso che la funzione non poteva essere differenziabile SENZA SVOLGERE ALCUN LIMITE infatti vi è un teorema che afferma che "l'esistenza di tutte le derivate parziali è condizione NECESSARIA per la differenziabilità di una funzione" se tu dici che la funzione non è derivabile allora per forza non è differenziabile!
ma questo non è il tuo caso perché la funzione è derivabile, perché con la definizione di derivata tu giungi a un numero finito, nel tuo caso zero.
Ora tu ti chiederai, ma le funzioni "derivata parziale" che ho ottenuto con le regole del calcolo perdono di senso nell'origine, come mai invece il limite calcolato con la definizione esiste finito? beh ci sono due possibilità la prima è che le derivate parziali non siano continue nell'origine pur esistendo ( che è il tuo caso infatti per un altro teorema se fossero continue nell'origine allora la tua funzione sarebbe per forza differenziabile nell'origine) oppure possono essere continue nel punto anche se la funzione "derivata parziale" non è definita nell'origine e questo succede quando i limite della derivata parziale che tende al punto di "non definizione" esiste finito(ma questo non è il tuo caso).
In ogni caso ti consiglio di riguardarti i teoremi sulla differenziabilità delle funzioni a più variabili.
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